2.6. FONCTIONS L DE DIRICHLET
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Proposition 2.6.9. - Soit q 2 1 et x u n caractère de Dirichlet primitif modulo q . Pour tout
n 2 1 o n a
et de plus
Autrement dit, pour x primitif, on peut écrire de façon très explicite le développement de Fourier discret de la fonction obtenue sur Z/qZ en prolongeant par zéro
le caractère x : (Z/qZ) + C. Remarquer l'analogie entre la définition de T ( X ) et
celle de la fonction r par (2.1'7).
Démonstration. - Si (n, q) = 1, il suffit de faire le changement de variable y = nx
dans le membre de droite de (2.50) pour obtenir par multiplicativité
Cette première partie ne requiert donc pas que x soit primitif. Mais cette hypothèse est nécessaire pour étendre la formule à n tel que (n, q) > 1. Dans ce cas on a
x(n) = O et donc il faut prouver que la somme est nulle.
Soit d = (n,q) > 1 donc n = dnl, q = dql avec (ni, q l ) = 1. On a
avec
On va démontrer que S (xi) = O pour tout xi. Comme dans la preuve des relations
d'orthogonalité on a X(y)S(xl) = S(yxl) par changement de variable, pour tout y E
(Z/qZ) et donc
Or x est primitif, donc son noyau ne contient pas celui de la réduction (Z/qZ) +
(Z/qlZ) X . 11 existe par conséquent y = 1 (mod q i ) tel que x(y) # 1. On en déduit
donc que S(xl) = O pour tout x i .
Pour démontrer (2.51), prenons le module (au carré) de (2.50) et sommons pour
n modulo q. On trouve
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004