Proposition 2.6.5
(1) Tout caractère de Dirichlet x est induit par un unique caractère primitq Son conducteur
est appelé aussi le conducteur de x .
(2) Soit x un caractère de Dirichlet modulo q induit par le caractère primitq X* modulo
q* 1 q. O n a
Démonstration
(1) est évident par récurrence.
(2) Il s'agit du même calcul que ci-dessus pour le caractère trivial E~ : soit d = q/q* ,
on a
Exercice 2.6.6. - Soit cp* ( q ) le nombre caractères primitifs modulo q. Démontrer que
[Indication : Démontrer que
et appliquer la formule d'inversion de Mobius.]
Exemple 2.6.7
(1) Le caractère trivial modulo q est induit par le caractère trivial modulo 1,
lequel est primitif.
(2) Le caractère xq est primitif modulo 4.
(3) Pour tout p premier impair, le caractère de Legendre est primitif modulo p ;
en effet, un caractère non primitif modulo un nombre premier doit être induit par
un caractère modulo 1, et c'est donc nécessairement le caractère trivial, ce qui n'est
pas le cas du caractère de Legendre (car p > 2).
La définition de primitivité est par négation. En voici une conséquence << affirmative >> importante.
DéJinition 2.6.8. - Soit x un caractère de Dirichlet modulo q > 1. La somme de Gauss
associée à x est le nombre complexe défini par
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