2.6. FONCTIONS L DE DIRICHLET
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Proposition 2.6.2.
Démonstration. -
- Soit q 2 1, x un caractère de Dirichlet modulo q . Pour o > 1, on a
Il suffit d'utiliser les produits eulériens ou, pour la dérivée logarithmique, la formule correspondante pour c(s), ainsi que la multiplicativité totale de
x (n)
O
Exemple 2.6.3
(1) Soit E~ le caractère trivial modulo q. On trouve aussitôt
Ainsi L ( E ~ ,
S) ne diffère de c(s) que par un produit fini de facteurs eulériens très
simples. En particulier les propriétés analytiques de L(cq, S) découleront immédiatement de celles de [ (s) .
(2) Soit ~4 le caractère de Dirichlet non trivial modulo 4. On a
1
1
(2.47)
L(x4, S) = C (-1) (n-1)/2n-s = 1 - - + - - . . . + (-lY + . . .
3S 5s
n impair
(2k + l)s
Le phénomène apparaissant dans (1) est un exemple de la notion d'imprimitivité.
Plus généralement que pour les caractères triviaux, on peut à partir d'un caractère x
modulo q en construire un (disons XI ) modulo dq pour tout d 2 2, en posant
O
si (n, dq) # 1
x i (n) =
x (n) si (n, dq) = 1, donc (n, q) = 1;
autrement dit en considérant le caractère associé au caractère de (Z/dqZ) donné
par la composition
X
(Z/dqZ)X --+ (Z/qZ)X - CX
où la première application estjuste la réduction modulo q.
Le caractère XI est dit induit par x (il ne s'agit pas de la notion d'induction en
théorie de représentation des groupes).
Définition 2.6.4. - Un caractère de Dirichlet x modulo q est dit primitif si il n'est pas
induit par un caractère modulo q1 où q' 1 q est un diviseur propre de q. On dit que q
est le conducteur de X.
L'importance des caractères primitifs est qu'ils contiennent essentiellement toutes
les informations sur les caractères, et en particulier leurs fonctions L.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004