Pour voir que h = 1, on peut soit évaluer en O et faire appel à la formule bien
connue
soit appliquer de nouveau la transformation de Fourier (f est paire) :
h
donc h = f 1, mais visiblement f (O) > O donc h = 1. (Ce qui prouve aussi (2.43)).
O
Si l'on applique maintenant la formule de Poisson à fy , on trouve la très importante formule de modularité >> de la fonction thêta de Jacobi.
Proposition 2.5.4. - Soit 0 la fonction deJinie pour y > O par
On a alors pour tout y > O
Démonstration. -
O(Y)
suffit d'appliquer (2.42) à fy :
C f y (n) = c f^r (h) = y-1/2 fy-1 (h) = Y-1/20(y-1).
n
h
h
2.6. Fonctions L de Dirichlet
Défiitàon 2.6.1. - Soit q 3 1, x un caractère de Dirichlet modulo q. La fonction L
de x est la fonction holomorphe définie par
pour o > 1.
Comme j ~ (n) 1 = O ou 1, la série converge absolument pour o > 1, et comme x
est (totalement) multiplicative, l'expression en produit eulérien est valide dans cette
région, puisque
pour toutp et o > 0.
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