2.5. LA FORMULE DE SOMMATION DE POISSON
Noter que
est la moyenne continue de f , et la formule peut donc s'interpréter comme donnant une relation exacte entre la somme de la série Cf (n) et l'intégrale J" f ( x ) d x , la
différence entre les deux étant la somme
des contributions des « fréquences » non nulles.
Dans de nombreux cas, la somme et l'intégrale sont proches, ce qui se traduit par
le fait que les autres termes f ( h ) avec h # O ou du moins h assez grand (les « hautes
fréquences ») sont petits. Il s'agit encore d'un phénomène d'oscillation (de la fonction x H e ( h x ) ) donnant lieu à des compensations dans les in tégrales f ( x ) e ( - h x ) dx .
On peut aussi remarquer l'analogie entre la façon de construire une fonction 1périodique, en faisant la moyenne de l'action de Z sur R par translation (2.41)' et la
définition (1.13) de la fonction Pl,(z) qui sera utilisée pour démontrer le théorème
principal.
Exemple 2.5.2. - Soit f ( x ) = e - " ~ ~ la fonction cloche classique. Il est bien connu
que f est « sa propre transformée de Fourier ». Plus généralement :
Lemme 2.5.3. - Soit y > O et fy ( x ) = e-nyxz . Alon pour tout 5
Démonstration. - Par changement de variable
A
donc il suffit de traiter y = 1 où il s'agit effectivement de démontrer f = f .
et donc par dérivation sous le signe d'intégration (évidemmentjustifiée dans la classe
de Schwartz), on a
= i SR e - n ~ 2 (2ixE) e(-XE) dx par intégration par partie
L'espace des solutions de l'équation différentielle y' = -2xxy est de dimension 1
engendré par f , et donc il existe A E C tel que f = A f .
SOCIRE MATHEMATIQUE DE FRANCE 2004
Noter que
est la moyenne continue de f , et la formule peut donc s'interpréter comme donnant une relation exacte entre la somme de la série Cf (n) et l'intégrale J" f ( x ) d x , la
différence entre les deux étant la somme
des contributions des « fréquences » non nulles.
Dans de nombreux cas, la somme et l'intégrale sont proches, ce qui se traduit par
le fait que les autres termes f ( h ) avec h # O ou du moins h assez grand (les « hautes
fréquences ») sont petits. Il s'agit encore d'un phénomène d'oscillation (de la fonction x H e ( h x ) ) donnant lieu à des compensations dans les in tégrales f ( x ) e ( - h x ) dx .
On peut aussi remarquer l'analogie entre la façon de construire une fonction 1périodique, en faisant la moyenne de l'action de Z sur R par translation (2.41)' et la
définition (1.13) de la fonction Pl,(z) qui sera utilisée pour démontrer le théorème
principal.
Exemple 2.5.2. - Soit f ( x ) = e - " ~ ~ la fonction cloche classique. Il est bien connu
que f est « sa propre transformée de Fourier ». Plus généralement :
Lemme 2.5.3. - Soit y > O et fy ( x ) = e-nyxz . Alon pour tout 5
Démonstration. - Par changement de variable
A
donc il suffit de traiter y = 1 où il s'agit effectivement de démontrer f = f .
et donc par dérivation sous le signe d'intégration (évidemmentjustifiée dans la classe
de Schwartz), on a
= i SR e - n ~ 2 (2ixE) e(-XE) dx par intégration par partie
L'espace des solutions de l'équation différentielle y' = -2xxy est de dimension 1
engendré par f , et donc il existe A E C tel que f = A f .
SOCIRE MATHEMATIQUE DE FRANCE 2004