2.5. La formule de sommation de Poisson
La formule suivante est la clé du prolongement analytique de c(s) et d'autres séries
de Dirichlet.
Proposition 2.5.1. - Soit f : R + C une fonction de Schwartz sur R, soit
sa transformée de Fourier. Alors pour tout x f R on a
la série convergeant absolument et uniformément sur tout compact dans R.
Démonstration. - Considérons la fonction définie par
pour x E R. Du fait que f décroît rapidement, il découle que cette série converge
absolument et uniformément sur les compacts. Cela permet de conclure que + est
Cm sur R. Le point crucial est que + est également 1-périodique :
en posant n' = n + 1.
On peut donc développer + en série de Fourier, laquelle convergera absolument
et uniformément également :
il suffit de démontrer que c ( h ) = f ( h ) . Or on a par définition
= c J f ( x + n ) e ( - h x ) d x = ~ J f ( x ) e ( - h x ) d x parpériodicité
n
O
n
n
Tous les échanges de somme et intégrale sont immédiatementjustifiés par la convergence absolue qui est omniprésente.
O
Le cas x = O donne la jolie formule auto-duale