2.4. CARACTÈRES DE GROUPES ABÉLIENS FINIS
Pour q = 8, il existe deux caractères réels distincts, à savoir x g tel que
Si la notion de caractère de Dirichlet paraît bien simple, il faut se rappeler que
la structure de groupe de (Z/mZ) n'est pas facile à décrire « explicitement >> : elle
dépend de la factorisation de cp (m) . Si m = p est premier, il s'agit de la factorisation
de p - 1, qui est un sujet bien mystérieux ... Par exemple le problème suivant demeure
non résolu :
Problème 2.4.9. - Quel est l'ordre de grandeur, comme fonction de p, d u plus petit entier
m 2 1 tel que m n'est pas un carré modulo p, c'est-à-dire d u plus petit m tel que ( m ) = - 1 ?
P
Est-il vrai que
pour tout E > O ?
(La dernière question est une conjecture de Vinogradov; le meilleur résultat
connu est dû à Burgess [Bull qui prouve que m « qC pour tout c > 1/4fi).
Les relations d'orthogonalité des caractères de groupes finis se transposent immédiatement aux caractères de Dirichlet. Soit m 2 1, a 2 1 un entier, alors on a pour
tout n 2 1 :
(2.39)
cp (m) si (a, m) = 1 et a n (mod m)
C x(a>x(n> =
X (modm)
- {O
sinon.
ou la somme porte sur l'ensemble de tous les caractères de Dirichlet modulo m.
La raison de l'utilité des caractères de Dirichlet modulo m pour l'étude des
nombres (premiers) dans les progressions arithmétique provient de ces relations : ils
permettent de « détecter >> une condition n -. a (mod m) par la formule ( Z N ) , de
manière similaire à la détection de la condition n = 1 par la formule (1.8).
Plus analytiquement, le fait que les caractères soient des fonctions arithmétiques
multiplicatives est crucial : en effet,, cela fournit des produits eulériens pour les séries de Dirichlet associées. Par contraste, les fonctions caractéristiques 6,(n) = 1 si
n = a (modm) , O sinon, ne sont pas multiplicatives. Cela rend difficile l'étude, par
exemple, d'un produit
n (l-p-"-',
p=a (modm)
faute d'en avoir une expression vraiment manipulable sous forme de série.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
Pour q = 8, il existe deux caractères réels distincts, à savoir x g tel que
Si la notion de caractère de Dirichlet paraît bien simple, il faut se rappeler que
la structure de groupe de (Z/mZ) n'est pas facile à décrire « explicitement >> : elle
dépend de la factorisation de cp (m) . Si m = p est premier, il s'agit de la factorisation
de p - 1, qui est un sujet bien mystérieux ... Par exemple le problème suivant demeure
non résolu :
Problème 2.4.9. - Quel est l'ordre de grandeur, comme fonction de p, d u plus petit entier
m 2 1 tel que m n'est pas un carré modulo p, c'est-à-dire d u plus petit m tel que ( m ) = - 1 ?
P
Est-il vrai que
pour tout E > O ?
(La dernière question est une conjecture de Vinogradov; le meilleur résultat
connu est dû à Burgess [Bull qui prouve que m « qC pour tout c > 1/4fi).
Les relations d'orthogonalité des caractères de groupes finis se transposent immédiatement aux caractères de Dirichlet. Soit m 2 1, a 2 1 un entier, alors on a pour
tout n 2 1 :
(2.39)
cp (m) si (a, m) = 1 et a n (mod m)
C x(a>x(n> =
X (modm)
- {O
sinon.
ou la somme porte sur l'ensemble de tous les caractères de Dirichlet modulo m.
La raison de l'utilité des caractères de Dirichlet modulo m pour l'étude des
nombres (premiers) dans les progressions arithmétique provient de ces relations : ils
permettent de « détecter >> une condition n -. a (mod m) par la formule ( Z N ) , de
manière similaire à la détection de la condition n = 1 par la formule (1.8).
Plus analytiquement, le fait que les caractères soient des fonctions arithmétiques
multiplicatives est crucial : en effet,, cela fournit des produits eulériens pour les séries de Dirichlet associées. Par contraste, les fonctions caractéristiques 6,(n) = 1 si
n = a (modm) , O sinon, ne sont pas multiplicatives. Cela rend difficile l'étude, par
exemple, d'un produit
n (l-p-"-',
p=a (modm)
faute d'en avoir une expression vraiment manipulable sous forme de série.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004