(2) Soit G = Z/mZ. Les caractères de G sont les fonctions SIa, a E G, telles que
+a (x) = e (y), ce qui est bien défini.
Cela provient immédiatement de l'Exemple 2.4.2. Noter qu'on voit ici directement
A
que G F G, et que les relations d'orthogonalité s'écrivent
c .(Y)={
q si a = O (mod q)
x (mod9)
O sinon.
Ces relations peuvent se vérifier encore par sommation d'une suite géométrique
finie.
DéJinition 2.4.7. - Soit q 2 1 et x un caractère du groupe multiplicatif (Z/qZ)
Le caractère de Dirichlet associé à x est la fonction, encore notée X , définie sur Z par
si (n, q) # 1
x(n> =
x (n (mod q) ) si (n, q) = 1.
io
On dit que x est défini modulo q. De plus, x est dit pair si x(-1) = 1 et impair si
x(-1) = -1.
Il découle de la définition que ~ ( m n )
= x(m)x(n) pour tout m et n : les caractères sont des fonctions arithmétique totalement multiplicatives. De plus, x est bien
entendu périodique de période q : x (n + q) = x (n) .
Clairement les caractères de Dirichlet modulo q forment un groupe fini d'ordre
(P (4).
Exemple 2.4.8
(1) Soit q 2 1 un entier. Le caractb-e trivial modulo q est le caractère de Dirichlet
E~ correspondant au caractère trivial xo de (Z/qZ) '. On a donc
On peut remarquer que les caractères E~ dépendent de q en raison de la condition
(n,q) = 1. On a q ( n ) = 1 pour tout n, mais # 1 si q > 1.
(2) Si p est un nombre premier, le caractère de Legendre modulo p fournit un
caractère de Dirichlet modulo p qui est quadratique.
(3) Pour q = 2, le seul caractère est le caractère trivial ~ 2 ,
qui est la fonction
caractéristique des entiers impairs. Pour q = 4, il y a deux caractères modulo q, le
caractère trivial ~4 et un caractère ~4 d'ordre 2 tel que
(2.3'7)
x4 (n) = O si n est pair, et x4 (n) = (- 1) (n-1)'2 si n est impair.
Donc x$ (n) = 1 si et seulement si n s 1 (mod 4).
+a (x) = e (y), ce qui est bien défini.
Cela provient immédiatement de l'Exemple 2.4.2. Noter qu'on voit ici directement
A
que G F G, et que les relations d'orthogonalité s'écrivent
c .(Y)={
q si a = O (mod q)
x (mod9)
O sinon.
Ces relations peuvent se vérifier encore par sommation d'une suite géométrique
finie.
DéJinition 2.4.7. - Soit q 2 1 et x un caractère du groupe multiplicatif (Z/qZ)
Le caractère de Dirichlet associé à x est la fonction, encore notée X , définie sur Z par
si (n, q) # 1
x(n> =
x (n (mod q) ) si (n, q) = 1.
io
On dit que x est défini modulo q. De plus, x est dit pair si x(-1) = 1 et impair si
x(-1) = -1.
Il découle de la définition que ~ ( m n )
= x(m)x(n) pour tout m et n : les caractères sont des fonctions arithmétique totalement multiplicatives. De plus, x est bien
entendu périodique de période q : x (n + q) = x (n) .
Clairement les caractères de Dirichlet modulo q forment un groupe fini d'ordre
(P (4).
Exemple 2.4.8
(1) Soit q 2 1 un entier. Le caractb-e trivial modulo q est le caractère de Dirichlet
E~ correspondant au caractère trivial xo de (Z/qZ) '. On a donc
On peut remarquer que les caractères E~ dépendent de q en raison de la condition
(n,q) = 1. On a q ( n ) = 1 pour tout n, mais # 1 si q > 1.
(2) Si p est un nombre premier, le caractère de Legendre modulo p fournit un
caractère de Dirichlet modulo p qui est quadratique.
(3) Pour q = 2, le seul caractère est le caractère trivial ~ 2 ,
qui est la fonction
caractéristique des entiers impairs. Pour q = 4, il y a deux caractères modulo q, le
caractère trivial ~4 et un caractère ~4 d'ordre 2 tel que
(2.3'7)
x4 (n) = O si n est pair, et x4 (n) = (- 1) (n-1)'2 si n est impair.
Donc x$ (n) = 1 si et seulement si n s 1 (mod 4).