Proposition 2.4.5
(1) Les caractères forment une base orthonormée de V .
n
h n
(2) On a GI = /GI et l'homomor~hisme canonique G + G donné par x H ( X H ~ ( x ) )
est un isomorphisme.
La décomposition d'une fonction suivant la base des caractères s'interprète
comme une transformation de Fourier discrète.
Démonstration
(1) Pour tout caractères x et X' on a
d'après (2.35)' donc les caractères forment une famille orthonormale, en particulier
libre.
Pour conclure il suffit de démontrer que si f : G + = C vérifie ( f / X ) = O pour
tout X, alors f = O. Soit f une telle fonction, y E G. On calcule
d'après (2.34).
n
(2) Comme dim V = IGI , on a IGI = IGI par (1). (Cela simplifie (2.35) ) . L'homoh h
morphisme G - , G est clairement injectif. Les deux groupes ayant même cardinal,
c'est donc un isomorphisme.
O
Exemple 2.4.6
(1) Soit G = (Z/@) ', p premier. Le caractère de Legendre est
défini par (1.3). On vérifie que c'est un caractère, dit quadratique car ~ ( x ) ~
= 1 pour
tout x , ou réel car ~ ( x )
E R pour tout x. (Ces deux propriétés sont équivalentes).
Si q = p';' - p p est un entier quelconque, on définit le symbole de Jacobi pour
x E ( Z / q Z ) par
(; ) = 2=1 fi (ilni.
Noter qu'il n'est plus vrai que ( x) = 1 implique que x soit un carré modulo q.
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