Démonstration
(1) Soit x E G - H , s'il existe. On va démontrer que x se prolonge au groupe H'
engendré par H et x , ce qui suffira par récurrence.
Soit n l'ordre de x dans G/H, c'est-à-dire le plus petit entier > 1 tel que xn E H , et
soit z = x(xn) . Si on veut que x' sur H' prolonge x, il faut que (x)% = z . Soit donc
w E C tel que wn = z, et posons pour g = hxk E HI, avec h E H , ~ ' ( g )
= x(h)wk. Si
hxk = h'xl, on a xk-' = h'h-l E H donc 1 = k (modn) et
ce qui démontre que
est bien défini, et c'est bien évidemment un caractère de H'
prolongeant x .
(2) Il suffit d'appliquer (1) au groupe H # 1 engendré par x qui est cyclique,
et d'utiliser l'exemple ci-dessus qui démontre qu'il existe x caractère de H tel que
x w # 1.
O
Proposition 2.4.4. - Soit G u n groupe commutatifjîni.
( 1 ) Pour tout x E G on a
(2) Pour tout x E G on a
Démonstration
(1) Si x = 1, c'est évident. Sinon, soit
tel que a (x) # 1 donné par le lemme.
On a
par changement de variable. Donc la somme est nulle.
(2) Le calcul est similaire, si ce n'est qu'il faut trouver, pour x # 1, un x tel que
~ ( x )
# 1 : un tel x existe évidemment par définition même.
0
Les deux formules ci-dessus sont appelées les relations d'orthogonalité pour les
caractères. Pour expliquer cela, considérons l'espace vectoriel V des fonctions complexes sur G muni du produit scalaire
(c'est un espace de dimension finie dim(V) = IGI : il n'y a pas d'analyse ici).