2.4. CARACTERES DE GROUPES ABÉLIENS FINIS
39
(Cette constante intervient dans la solution du problème des diviseurs de Titchmarsh,
cf: Chapitre 4).
Le cas de la Proposition 2.3.6 où r = 0, c'est-à-dire quand Df ( s ) est holomorphe
pour o > 6 , est particulièrement intéressant. Il dit alors que
améliorant la borne triviale
L'estimation (2.33) indique donc qu'il y a des changements de signe (ou d'argument) parmi les valeurs de la fonction arithmétique f ( n ) qui sont suffisamment
importants pour créer des compensations non négligeables (la fonction rq n'est pas
oscillante donc ne contribue pas à ces compensations).
2.4. Caractères de groupes abéliens finis
DéJinition 2.4.1. - Soit G un groupe commutatif fini. Un caractère de G est un homomorphisme x : G + CX de G dans le groupe multiplicatif CX .
Le groupe dual G de G est le groupe des caractères de G.
Comme G est fini, l'image de x est forcément une racine de l'unité et donc de
module 1.
Le produit est simplement (xi x2) ( x ) = x l ( x ) ~2 ( x ) . L'élément neutre est le caractère dit trivial, noté parfois xo, tel que x o ( x ) = 1 pour tout x. Le caractère inverse
est donné par
x-' ( x ) = ( x ) -' = x ( x ) car ( x ) 1 = 1
et sera donc souvent noté 1.
Il s'agit de la pointe minuscule de la théorie générale des représentations des
groupes. Ce dont nous avons besoin est très élémentaire.
Exemple 2.4.2. - Soit G un groupe cyclique d'ordre m. Puisque G est le groupe ayant
un seul générateur y vérifiant la relation y" = 1, la théorie des groupes démontre
que se donner un caractère de G est équivalent à se donner l'image de y vérifiant
A
y" = 1, c'est-à-dire que G est isomorphe, via x I + ~ ( y )
, au groupe des racines m-èmes
h
de l'unité. En particulier on voit G E G, mais non canoniquement (il faut choisir y
engendrant G) .
Pour démontrer que des caractères non triviaux existent toujours, on a le
Lemme 2.4.3
(1) Soit H < G un sous-groupe $ni de G. Tout caractère x de H se prolonge à G, pas
nécessairement de manière unique.
(2) Soit x # 1 . II existe x E tel que ~ ( x )
# 1 .
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
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(Cette constante intervient dans la solution du problème des diviseurs de Titchmarsh,
cf: Chapitre 4).
Le cas de la Proposition 2.3.6 où r = 0, c'est-à-dire quand Df ( s ) est holomorphe
pour o > 6 , est particulièrement intéressant. Il dit alors que
améliorant la borne triviale
L'estimation (2.33) indique donc qu'il y a des changements de signe (ou d'argument) parmi les valeurs de la fonction arithmétique f ( n ) qui sont suffisamment
importants pour créer des compensations non négligeables (la fonction rq n'est pas
oscillante donc ne contribue pas à ces compensations).
2.4. Caractères de groupes abéliens finis
DéJinition 2.4.1. - Soit G un groupe commutatif fini. Un caractère de G est un homomorphisme x : G + CX de G dans le groupe multiplicatif CX .
Le groupe dual G de G est le groupe des caractères de G.
Comme G est fini, l'image de x est forcément une racine de l'unité et donc de
module 1.
Le produit est simplement (xi x2) ( x ) = x l ( x ) ~2 ( x ) . L'élément neutre est le caractère dit trivial, noté parfois xo, tel que x o ( x ) = 1 pour tout x. Le caractère inverse
est donné par
x-' ( x ) = ( x ) -' = x ( x ) car ( x ) 1 = 1
et sera donc souvent noté 1.
Il s'agit de la pointe minuscule de la théorie générale des représentations des
groupes. Ce dont nous avons besoin est très élémentaire.
Exemple 2.4.2. - Soit G un groupe cyclique d'ordre m. Puisque G est le groupe ayant
un seul générateur y vérifiant la relation y" = 1, la théorie des groupes démontre
que se donner un caractère de G est équivalent à se donner l'image de y vérifiant
A
y" = 1, c'est-à-dire que G est isomorphe, via x I + ~ ( y )
, au groupe des racines m-èmes
h
de l'unité. En particulier on voit G E G, mais non canoniquement (il faut choisir y
engendrant G) .
Pour démontrer que des caractères non triviaux existent toujours, on a le
Lemme 2.4.3
(1) Soit H < G un sous-groupe $ni de G. Tout caractère x de H se prolonge à G, pas
nécessairement de manière unique.
(2) Soit x # 1 . II existe x E tel que ~ ( x )
# 1 .
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004