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CHAPITRE 2. PRÉPARATIFS POUR LE THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
L'ordre de grandeur exact du terme d'erreur dans (2.30) est un problème ouvert.
On conjecture que pour tout E > O on a
(2.31)
C r (n) = x (log x + 2y - 1) + O (x~'~")
d et on sait que 1/4 + E ne peut être remplacé par 1/4 [Ha].
Cela fournit un exemple frappant où les sommes lisses sont bien plus régulières :
dans ce cas d = 1, la série de Dirichlet est D, (s) = ~ ( s )
2 , donc se prolonge en o > 0,
d'où pour tout E > O
en développant au voisinage de 1
Noter comme le terme d'erreur est bien meilleur que celui espéré pour (2.31).
Exercice 2.3.9
(1) Démontrer (2.30) directement en écrivant
et en intervertissant les sommes; il faudra remarquer qu'on peut, en échangeant a
et b, se limiter à a < fi.
(2) Démontrer que
quand x -+ +m en considérant les sommes associées à un majorant lisse de [O, x]
d'amplitude 1 + 8 et en faisant 8 -+ O convenablement dans (2.29).
Exercice 2.3.10. - Soit f (n) = y(n)-l pour n 2 1
(1) Démontrer que pour o > O on a
(2) En déduire que Df (s) admet un prolongement analytique à o > -1 avec
croissance polynomiale dans les bandes verticales.
(3) Démontrer que
1
M/ (x) N c(10gx) avec c = 11 (1 +
L' (2)C (3)
C(6) *
p
P(P- 1)
COURS SPÉCIAIISÉS 13