2.3. SÉRIES DE DIRICHLET ET FONCTIONS SOMMATOIRES
Démonstration. - Le p-facteur dans le produit eulérien est
Or on a une identité de séries formelles
avec HP E C[[X]] vérifiant Hp(0) = 1, HP(0) = O. (Cela revient à dire que
(1 -X)-g = 1 + g x +0(x2)).
Un raisonnement élémentaire démontre de plus que les coefficients bp(k) de HP
sont bornés par un polynôme en k, indépendant de p.
On déduit alors du Lemme 2.1.8 une factorisation pour o > 1
(2.28)
Dr (s) = , (s) g, HP ($-') = , (s) H (s) , disons.
P
Or, du fait que Hi (O) = O, il n'y a pas de coefficients en p-' dans le produit eulérien
pour H (s) , donc pour tout p
ce qui démontre que H(s) est holomorphe pour o > 1/2. L'équation (2.28) et le
prolongement de 'i (s) donnent donc celui de Df (s) avec un pôle d'ordre g en s = 1.
De plus la convergence absolue du produit eulérien H (s) pour o > 1/2 démontre
que H (s) « 1 dans toute bande 1/2 + 6 < o. La croissance polynomiale de Df (s)
découle donc de (2.28) et de la croissance polynomiale de <(s) (donnée par (2.27)
par exemple).
O
Ce type de raisonnement peut s'étendre, avec plus de soin, à des cas où g n'est pas
entier (par exemple g = 1/2).
Pour f = .rd, on a g = zd, donc la méthode de la Proposition 2.3.6 donne, pour
une fonction test cp fixée et tout y 2 1
pour tout E > 0, où Pd est un polynôme de degré 2d - 1, dépendant de 9 , de la forme
On peut démontrer un résultat similaire pour la somme non lisse, mais le terme
d'erreur n'est pas aussi bon pour d grand : pour x 2 1 on a par exemple
avec & = x ~ ~ - '
+ o ( x ~ ~ - ~ ) .
(On peut par exemple procéder de la manière indiquée
dans l'Exercice 3.4.4). Si d = 1 , on obtient une formule due à Dirichlet
où y est la constante d'Euler (1.11).
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004