Si D ( s ) possède dans o > 6 un nombre fini de pôles simples, disons so, . . . , sk,
avec résidus ri, leurs contributions s'ajoutent :
S'il existe un pôle multiple en so d'ordre d, la contribution correspondante se
calcule par un développement un peu plus compliqué : supposons qu'au voisinage
de so on a
alors le résidu en so de la fonction D f ( s ) i ; ( s ) y s se calcule en faisant le développement
en série entière
d'où une contribution égale à
En fonction de y, on peut voir que bi ( y ) est un polynôme de degré ,< i en log y
puisque la i-ème dérivée de y' est ( 1 0 ~ ~ ) ~ ~ ' .
Exemple 2.3.7. - Fixons d 1 et considérons la fonction arithmétique f = r d . C'est
une fonction multiplicative à laquelle s'applique le Lemme 2.1.8 avec A = O puisque
r d @ ) = (k + l ) d .
Pour appliquer le résultat précédent, cherchons à prolonger D f ( s ) au-delà de
o > 1. Pour d = O, on a la fonction c. Dans ce cas, l'équation (2.5) démontre que
c ( s ) se prolonge en fonction méromorphe pour o > O avec un unique pôle simple
en s = 1 de résidu 1.
De plus, estimant directement à partir de (2.5), on a
qui démontre que c ( s ) est à croissance polynomiale pour o > 0, uniformément pour
o > 6 si 6 > O est fixé. On verra un résultat plus précis dans le chapitre suivant.
En utilisant le produit eulérien on va en déduire un résultat pour f à l'aide du
simple principe suivant : les valeurs f ( p ) d'une fonction arithmétique << raisonnable »
suffisent à donner le comportement analytique de Dl ( s ) pour o > 1/2.
Lemme 2.3.8. - Soit f une fonction multiplicative telle que f ( n ) «, nE pour tout E > 0.
Suflosons que pour tout p premier on a f ( p ) = g 2 1, un entier fixé. Alors D ( s ) se prolonge
en fonction mhomorphe sur o > 1 /2 avec un unique pôle d'ordre g en s = 1, et de plus D ( s )
est à croissance polynomiale unqormément dans toute bande 1/2 + 6 < o < A avec 6 > 0,
A 2 1.
COURS SPÉCIALISÉS 13
avec résidus ri, leurs contributions s'ajoutent :
S'il existe un pôle multiple en so d'ordre d, la contribution correspondante se
calcule par un développement un peu plus compliqué : supposons qu'au voisinage
de so on a
alors le résidu en so de la fonction D f ( s ) i ; ( s ) y s se calcule en faisant le développement
en série entière
d'où une contribution égale à
En fonction de y, on peut voir que bi ( y ) est un polynôme de degré ,< i en log y
puisque la i-ème dérivée de y' est ( 1 0 ~ ~ ) ~ ~ ' .
Exemple 2.3.7. - Fixons d 1 et considérons la fonction arithmétique f = r d . C'est
une fonction multiplicative à laquelle s'applique le Lemme 2.1.8 avec A = O puisque
r d @ ) = (k + l ) d .
Pour appliquer le résultat précédent, cherchons à prolonger D f ( s ) au-delà de
o > 1. Pour d = O, on a la fonction c. Dans ce cas, l'équation (2.5) démontre que
c ( s ) se prolonge en fonction méromorphe pour o > O avec un unique pôle simple
en s = 1 de résidu 1.
De plus, estimant directement à partir de (2.5), on a
qui démontre que c ( s ) est à croissance polynomiale pour o > 0, uniformément pour
o > 6 si 6 > O est fixé. On verra un résultat plus précis dans le chapitre suivant.
En utilisant le produit eulérien on va en déduire un résultat pour f à l'aide du
simple principe suivant : les valeurs f ( p ) d'une fonction arithmétique << raisonnable »
suffisent à donner le comportement analytique de Dl ( s ) pour o > 1/2.
Lemme 2.3.8. - Soit f une fonction multiplicative telle que f ( n ) «, nE pour tout E > 0.
Suflosons que pour tout p premier on a f ( p ) = g 2 1, un entier fixé. Alors D ( s ) se prolonge
en fonction mhomorphe sur o > 1 /2 avec un unique pôle d'ordre g en s = 1, et de plus D ( s )
est à croissance polynomiale unqormément dans toute bande 1/2 + 6 < o < A avec 6 > 0,
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