2.3. SÉRIES DE DIRICHLET ET FONCTIONS SOMMATOIRES
35
Démonstration. - On a (2.24) pour tout c > 1. Soit T 2 1, E > O des réels arbitraires
et considérons l'intégrale curviligne
ou
est le rectangle de sommets c - iT, c + iT, 6 + E + iT, 6 + E - iT, pris dans le
sens direct. D'après la formule de Cauchy, puisque q(s) est holomorphe pour o > O
et s ++ yS est entière, on a donc
On sait que la transformée de Mellin $(s) décroît rapidement pour Isl -+ +oo
dans une bande verticale. En combinaison avec (2.25), cela permet d'affirmer qu'il
existe C = C (y, E) > O telle que
pour 6 + E < CS < c. Donc les contributions à l'intégrale de chacun des deux côtés
horizontaux Hl et H2 sont majorées par
Faisant T + +oo (les autres paramètres étant fixés), on en déduit que ces deux
contributions disparaissent et il reste
ce qu'on écrit plutôt
Il ne reste qu'à majorer la seconde intégrale :
puisque l'intégrale converge absolument grâce encQre à l'hypothèse (2.25) et à la
décroissance rapide de $(s) quand Im(s) + +m.
O
Dans la suite, la manœuvre utilisée dans la première partie de la preuve (arrivant
à (2.26)) sera résumée tout simplement par << on déplace la droite d'intégration jusqu'à CS = 6 + E en passant par le pôle (possible) en s = 1 >> et deviendra, avec ses
variantes, un refrain sempiternel.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004