Démonstration. - D'après la formule d'inversion de Mellin on a pour tout n 2 1
donc en sommant sur n et en intervertissant somme et intégrale
L'échange de somme et intégrale est immédiatement justifié par la convergence absolue de Dl (s) et de $ ( s ) .
Pour en déduire le (2), il suffit d'appliquer ce qui précède à
pour lequel un changement de variable évident démontre que
Dans la formule (2.24), il faut interpréter le paramètre y comme << limitant la
somme à n < y » : ce sera littéralement le cas si cp est à support compact dans [O, 11,
par exemple. Supposons plutôt supp cp = [O, 21, cp ( x ) = 1 pour O < x < 1 , et O < cp < 1 .
Alors
Tirons quelques applications de ces formules pour illustrer comment des informations analytiques sur D f ( s ) permettront d'avoir des informations très précises sur le
comportement de A f ( c p ) . Sous la forme (2.24), l'estimation de la somme lisse qu'on
peut en tirer est plutôt triviale. Le jeu est de tenter de << tirer » le chemin d'intégration vers la gauche (parce que \yS\ = y' décroît ainsi) : cela requiert évidemment de
pouvoir prolonger D j ( s ) au-delà de sa région de convergence absolue.
Pour simplifier, considérons le cas le plus simple d'abord. Soit f une fonction
arithmétique telle que f ( n ) «, nE pour tout E > O. Supposons de plus que D f ( s )
se prolonge méromorphiquement un peu au delà de o > 1, précisément qu'il existe
6 < 1 tel que D j ( s ) soit méromorphe pour a > 6 avec au plus dans cette région un
unique pôle simple en s = 1 avec résidu r E C . (Le cas r = O correspondant au cas
où D f est holomorphe pour o > 6 ) .
Supposons de plus que D j ( s ) soit à
que pour tout 6' = 6 + E > 6, il existe C
(2.25)
Pf ( 4 1
uniformément pour o 2 6 + E .
croissance modérée pour o > 6, c'est-à-dire
= C ( E ) tel que
Proposition 2.3.6. - Sous les hypothèses précédentes, on a pour tout y > 1 et E > O
où la constante implicite ne dépend que de cp et de E . Noter que ij ( 1 ) = cp ( x ) dx .
donc en sommant sur n et en intervertissant somme et intégrale
L'échange de somme et intégrale est immédiatement justifié par la convergence absolue de Dl (s) et de $ ( s ) .
Pour en déduire le (2), il suffit d'appliquer ce qui précède à
pour lequel un changement de variable évident démontre que
Dans la formule (2.24), il faut interpréter le paramètre y comme << limitant la
somme à n < y » : ce sera littéralement le cas si cp est à support compact dans [O, 11,
par exemple. Supposons plutôt supp cp = [O, 21, cp ( x ) = 1 pour O < x < 1 , et O < cp < 1 .
Alors
Tirons quelques applications de ces formules pour illustrer comment des informations analytiques sur D f ( s ) permettront d'avoir des informations très précises sur le
comportement de A f ( c p ) . Sous la forme (2.24), l'estimation de la somme lisse qu'on
peut en tirer est plutôt triviale. Le jeu est de tenter de << tirer » le chemin d'intégration vers la gauche (parce que \yS\ = y' décroît ainsi) : cela requiert évidemment de
pouvoir prolonger D j ( s ) au-delà de sa région de convergence absolue.
Pour simplifier, considérons le cas le plus simple d'abord. Soit f une fonction
arithmétique telle que f ( n ) «, nE pour tout E > O. Supposons de plus que D f ( s )
se prolonge méromorphiquement un peu au delà de o > 1, précisément qu'il existe
6 < 1 tel que D j ( s ) soit méromorphe pour a > 6 avec au plus dans cette région un
unique pôle simple en s = 1 avec résidu r E C . (Le cas r = O correspondant au cas
où D f est holomorphe pour o > 6 ) .
Supposons de plus que D j ( s ) soit à
que pour tout 6' = 6 + E > 6, il existe C
(2.25)
Pf ( 4 1
uniformément pour o 2 6 + E .
croissance modérée pour o > 6, c'est-à-dire
= C ( E ) tel que
Proposition 2.3.6. - Sous les hypothèses précédentes, on a pour tout y > 1 et E > O
où la constante implicite ne dépend que de cp et de E . Noter que ij ( 1 ) = cp ( x ) dx .