2.3. SÉRIES DE DIRICHLET ET FONCTIONS SOMMATOIRES
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Nous pouvons maintenant montrer comment passer de propriétés de D f ( s ) à
celles de Mf(x). Plus simplement, on va considérer les fonctions sommatoires « lissées >>
pour cp : [O, +oo[ -+ C une fonction de Schwartz. Cette série converge absolument
si f est à croissance modérée.
L'avantage de ces sommes apparaîtra dans un instant : il s'agit du fait que « l'analyse harmonique >> (transformée de Mellin ici) d'une fonction très régulière cp (de
classe Cm) est beaucoup plus agréable que celle de la fonction caractéristique de
[O, x] car sa transformée décroît très vite à l'infini, ce qui élimine de nombreux problèmes délicats de convergence.
De plus, il est souvent le cas, dans les applications, que l'on puisse se restreindre à
de telles sommes sans difficultés, et sinon que l'on puisse utiliser des fonctions tests
comme approximations de la fonction caractéristique. On en verra de nombreux
exemples. (On peut même aussi utiliser cp à support compact dans de nombreux cas,
rendant la somme finie).
DéJinition 2.3.4. - Soit y > O. Un majorant lisse de la fonction caractéristique de
[O, y] d'amplitude A > 1 est une fonction cp : [O, +oo [ -+ R qui est Cm à support
compact dans [O, Ay ] et telle que
o < c p 6 1
cp(x) = 1 six < y .
Noter qu'on a
Proposition 2.3.5. - Soit cp une fonction de Schwartz, f une fonction arithmétique à croissance modbée. Soit c > O tel que D ( s ) converge absolument sur la droite Re ( s ) = c .
( 1 ) O n a
pour tout o tel que o > O et D ( s ) converge absolument pour Re ( s ) = o.
(2) Soit y > O quelconque. O n a
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
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Nous pouvons maintenant montrer comment passer de propriétés de D f ( s ) à
celles de Mf(x). Plus simplement, on va considérer les fonctions sommatoires « lissées >>
pour cp : [O, +oo[ -+ C une fonction de Schwartz. Cette série converge absolument
si f est à croissance modérée.
L'avantage de ces sommes apparaîtra dans un instant : il s'agit du fait que « l'analyse harmonique >> (transformée de Mellin ici) d'une fonction très régulière cp (de
classe Cm) est beaucoup plus agréable que celle de la fonction caractéristique de
[O, x] car sa transformée décroît très vite à l'infini, ce qui élimine de nombreux problèmes délicats de convergence.
De plus, il est souvent le cas, dans les applications, que l'on puisse se restreindre à
de telles sommes sans difficultés, et sinon que l'on puisse utiliser des fonctions tests
comme approximations de la fonction caractéristique. On en verra de nombreux
exemples. (On peut même aussi utiliser cp à support compact dans de nombreux cas,
rendant la somme finie).
DéJinition 2.3.4. - Soit y > O. Un majorant lisse de la fonction caractéristique de
[O, y] d'amplitude A > 1 est une fonction cp : [O, +oo [ -+ R qui est Cm à support
compact dans [O, Ay ] et telle que
o < c p 6 1
cp(x) = 1 six < y .
Noter qu'on a
Proposition 2.3.5. - Soit cp une fonction de Schwartz, f une fonction arithmétique à croissance modbée. Soit c > O tel que D ( s ) converge absolument sur la droite Re ( s ) = c .
( 1 ) O n a
pour tout o tel que o > O et D ( s ) converge absolument pour Re ( s ) = o.
(2) Soit y > O quelconque. O n a
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