(3) Dans toute bande verticale A < o < B avec A < B , pour tout k 1 , on a
uniformément dans la bande.
Démonstration. - Notons que (2) est un cas particulier de (l), mais est également
directement évident puisque si f a support compact c [6, +oo [ avec 6 > O on a
/(SI = J: * f ( x ) xs-' dx
qui est visiblement convergent pour tout s E C puisque f est une fonction de
Schwartz.
Montrons donc (1). Soit k 2 O un entier. Supposons d'abord que f (0 ( O ) = O pour
O < i < k. Alors on a f ( x ) = O(xk+') quand x -+ O. Cela suffit à démontrer que
l'intégrale
1
101 f ( x ) xS-ldx « Io xS+*dx
h
converge absolument pour o > -k - 1 et donc que f (s) est holomorphe dans cette
région.
Soit maintenant f une fonction de Schwartz quelconque. Notons Pk E C [ X ] le
k-ème polynôme de Taylor de f ; soit cp : [O, + a [ -+ [O, 11 une fonction Cm dont le
support est [O, 21 et qui vérifie y ( x ) = 1 pour O < x < 1. On écrit
Chacune de ces trois fonctions est encore une fonction de Schwartz. La transformée de Mellin de f ( 1 - cp) est entière car le support de cette fonction est c ] O , +oo [ ;
celle de f i = (f - P k ) y est holomorphe pour o > -k - 1 par le cas préliminaire,
(i)
puisque f i ( O ) = O pour i < k.
Enfin, pour tout i et o > -d on a
1
SOIa x d y ( x ) x s l d x = JO xd+'-ldx +
cp ( x ) xd+s-l dx = - l +
( x ) xdiS-l dx.
d + s
La dernière intégrale est une fonction entière, et cette formule donne donc le prolongement de la transformée de Mellin de x - xdcp ( x ) en une fonction méromorphe
avec un unique pôle simple de résidu 1 en s = -d. Par linéarité, la transformée de
Mellin de
est méromorphe avec au plus des pôles simples en s = 4 , O < i < k , de résidus
( 0 ) / i ! .
Enfin (3) n'est que l'écriture, dans ce cadre, du fait bien connu que la transformée
de Fourier d'une fonction de Schwartz décroît rapidement à l'infini, et s'obtient si
l'on veut simplement par des intégrations par partie successives.
O
COURS SPÉCIALISÉS 13