2.3. SÉRIES DE DIRICHLET ET FONCTIONS SOMMATOIRES
quand o + +m.
(4) On a uniformément dans tout angle larg(s) 1 < n - E
r '
- ( s ) = log lsl + ( s - l ) .
r
Les trois dernières propriétés sont appelées les formules de Stirling.
La transformation de Mellin est essentiellement une version multiplicative de la
transformation de Fourier. En effet, on peut écrire
= IR (eu)e-'ue-'u'du (en posant u = log x )
sont très
que l'on
(2.21)
de sorte que f ( o + i t ) , pour o fixé et t E R, est la transformée de Fourier de la
fonction définie sur R par
go ( u ) = f (eu) e-Ou.
La formule d'inversion de Fourier, qui est justifiée ici car les fonctions utilisées
régulières, fournit donc une formule d'inversion, à savoir
préfère écrire sous la forme
1
f ( x ) = - 1 ' ( s ) x-'ds
22n
où la notation & . . . signifie une intégration (complexe) sur la droite verticale
( o )
R e ( s ) = o . Noter qu'ici o est arbitraire, à la seule condition que l'intégrale définissant
la transformée de Mellin converge pour R e ( s ) = o , en particulier o > 1 suffit sous
les conditions ci-dessus.
Proposition 2.3.3. - Soit f une fonction de Schwartz sur [O, +m [ et f ( s ) sa transfomée de
Mellin.
( 1 ) L a fonction f ( s ) se prolonge en une fonction méromorphe sur C dont les seules singuh
larités possibles sont aux entiers négatifs s = - k , k 3 0 , où f ( s ) peut auoir un pôle simple de
résidu f ( k ) ( O ) / k ! .
(2) Si f est à support compact dans ]O, +CQ [, la fonction f(s) est entière.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004