Exemple 2.2.2. - Soit f une fonction arithmétique telle que f ( n ) « na avec a 2 0,
donc convergeant absolument pour o > a + 1. On a alors
et donc
Dr ( s ) = C f ( n ) n-' = s J ' M~ ( x )
pour o > a + 1.
n 2 1
1
Cela justifie par exemple (2.5) et (2.7).
2.3. Séries de Dirichlet et fonctions somrnatoires
Dans l'autre direction, depuis Df ( s ) vers Mf(x), le lien le plus direct est fourni
par la transformation de Mellin.
DéJinition 2.3.1. - Soit f : [O, +oo[ + C une fonction de Schwartz. La transformée
A
de Mellin est la fonction holomorphe f définie par prolongement analytique de la
fonction
définie pour Re (s) > 0.
Puisque f a décroissance plus rapide que tout polynôme à l'infini, il est clair que
f ( s ) est effectivement définie et holomorphe pour o > O (la limitation venant de la
divergence en O).
Exemple 2.3.2. - Soit f ( x ) = e-x . La transformée de Mellin de f est la fonction gamma
d'Euler :
(2.17)
r ( s ) =
,-x
s-1
x dx.
Celle-ci est définie originellement pour o > 1 (regarder au voisinage de O), mais
on vérifie par intégration par partie la relation
d'ou, par récurrence, on déduit que ï ( s ) admet un prolongement méromorphe à C
possédant comme seules singularités des pôles simples en s = -k, k 2 O entier. De
plus on a T ( n ) = ( n - l ) ! pour n 2 1.
La fonction ï intervient fréquemment dans l'étude des séries de Dirichlet. Les
propriétés suivantes sont bien connues (voir par exemple [Tl, 4.41, 4.421 ) :
(1) On a T ( s ) # O pour tout s E C.
(2) On a uniformément pour a < o < b et ( t ( 2 1