Les propriétés asymptotiques de M f ( x ) sont intimement liées aux propriétés analytiques de D f ( s ) , vue comme fonction holomorphe (une idée essentiellement due à
Riemann). Dans le cas de f = A, c'est la clé de la preuve du théorème des nombres
premiers. Voir aussi la section suivante pour de premiers exemples « élémentaires. >>
2.2. Fonctions sornmatoires et séries de Dirichlet
La formule de sommation par partie permet d'exprimer une série de Dirichlet
D ( s ) en fonction de la fonction sommatoire M f ( x ) .
Lemme 2.2.1. - Soit an une suite complexe et f : [O, +co [ -t C une fonction de classe C' .
O n a pour tout x 2 O
et si lim Ma (x) f ( x ) = O et la série ou l'intégrale converge absolument,
Cette formule, dont on a déjà vu des applications, permet souvent de déterminer
le comportement asymptotique de C an f ( n ) connaissant celui de C an, lorsque f est
une fonction très régulière (un polynôme, par exemple).
Démonstration. - Soit N entier tel que N < x < N + 1. On a Maf ( x ) = Maf ( N ) , et
on vérifie d'abord que de même
car Ma ( t ) = Ma ( N ) pour N < t < x. On peut donc supposer x = N. Alors on a
La dernière formule résulte évidemment de celle-ci quand x + +oo compte tenu de
l'hypothèse sur M a ( x ) f ( x ) .
O
SOCIÉTÉ MATHEMATIQUE DE FRANCE 2004