Démonstration. - On a tout d'abord
et le second terme est trivialement « \ / X ( l ~ ~ x ) ~
pour x 2 2 (noter que k <
(log x) / (log p) < (log x) / (log 2) ) . Notons 0 (x) le premier terme. Par sommation
par partie (2.16), on a
0 (x) = n (x) log x - slx ?di
et donc IT (x) - X/ (log x) implique 0 (x) N x (l'intégrale étant « x/ (log x) , $ (1.1)).
Réciproquement, on a
et par sommation par partie
( 4 - ( 4
44) dl
C--.,, log n log x
+
S2
d'où l'implication désirée.
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Exercice 2.6.14. - Démontrer, combinatoirement ou par calcul de séries de Dirichlet,
les formules suivantes :
<(qk = C Tk(n)n-' où rk(n) est le nombre de façons d'écrire n = dl - . - dk, di > 1
n2 1
- -
'(') - C p(n)2n-r ou bien p(n)2 = C p (d)
C (2s) n a 1
d2 ln
- -
'(s)2 - C 2v(n)n-s où v(n) est le nombre de facteurs premiers de n
< (2s) n > i
Terminons par la définition suivante :
Dé$nition 2.1.15. - Soit f une fonction arithmétique. La fonction sommatoire de f
est la fonction Mf définie pour x 2 O par
COURS SPÉCIALISÉS 13