Lemme 2.1.12
(1) L a série DA ( s ) converge absolument pour o > 1.
(2) O n a pour tout n 2 1
si n n 'est pas une puissance
(2.15)
logp s i n = p k a v e c k 2 1.
Démonstration
(1) découle de la convergence de D p ( s ) pour CT > 1
(2) La première formule découle du produit DA (s)
en est une conséquence car
d'un nombre premier
que l'on a déjà vu
= - c' ( s ) c ( s ) -' ; la seconde
La dernière formule peut se démontrer par un calcul combinatoire direct laissé en
exercice, ou bien à partir du produit eulérien : comme
pour o > 1, on peut calculer la dérivée logarithmique terme par terme
d'où le résultat.
Notons la formule (conséquence de la définition) pour n 2 1
C A ( d ) = log n.
dln
L'importance de A réside en partie dans le fait qu'essentiellement elle compte
les nombres premiers avec un poids logp qui est parfaitement naturel du fait de
leurs propriétés multiplicatives, et que de plus sa série de Dirichlet a des propriétés
analytiques plus agréables que, par exemple, la série « naïve » Cp+. Par exemple
on a
Lemme 2.1 .l3. - Soit
la fonction sommatoire de A. Le théorème des nombres premiers est équivalent à l'assertion
+ ( x ) N x quand x + +m.