(3) La fonction d'Euler cp ( n ) = 1 ( Z / n Z ) 1 est également multiplicative grâce au
théorème chinois. On a
et plus généralement par multiplicativité
Comme cp ( n ) < n , la série Dv ( s ) converge pour o > 2. On a de plus
~ l -
( 4
n = x c p ( d ) oubien cp(n) = n C -
4%
4%
d
(que l'on déduit de (2.11) ou bien de (2.10)). Donc pour o > 2 on a
On a la majoration utile
4
- « log log q
cp ( 4 )
pour q 2 2.
(4) On a vu que la série de Dirichlet D f ( s ) est holomorphe dans la région où
elle converge absolument. Par convergence uniforme, on peut dériver sous le signe
de sommation avec
( S H n?)' = - (log n ) n-',
et on obtient :
Lemme 2.1.11. - Soit f une fonction arithmétique à croissance modérée telle que D ( s )
converge absolument pour o > 00. Alors pour o > oo la dénvée de D ( s ) est donnée par
D; ( s ) = x ( - log n ) f ( n ) n- " D- log ( s ) .
n>l
Avec le Lemme 2.1.8, cela dit en particulier que la dérivée logarithmique
-D; ( s ) / D (s) possède un développement en série de Dirichlet si f (1) # O.
La fonction de von Mangoldt A ( n ) est définie par
C'est également une fonction fondamentale dans l'étude de la distribution des
nombres premiers. Attention, cette fonction n'est pas multiplicative (voir ci-dessous) !