Lemme 2.1.10. - Soit f une fonction arithmétique. Alors f admet un inverse notée f*(-'1
pour la convolution si et seulement si f ( 1 ) # O . E n particulier, si f est multiplicative, elle est
inversible. Dans ce cas on a pour p premier
Démonstration. - On procède par récurrence pour déterminer g telle que f x- g = 6 :
pour n = 1 , cela donne
1 = f ( l ) g ( l ) donc g ( 1 ) = f(1)-'.
Si g ( m ) est déterminée pour m < n , on a l'équation pour g ( n ) :
dont tous les termes dans la somme sont connus par hypothèse, et donc
1
g ( n > = -C f ( d ) g ( n / d ) .
f (') dln
Pour vérifier la dernière formule, il suffit de prendre n = p dans la formule ci-dessus.
O
Il n'est pas forcément évident, par contre, de déterminer la région de convergence absolue de Dyc-l) ( s ) : cela dépend bien évidemment de l'existence de zéros
de Df ( s ) .
(2) La fonction << nombre de diviseurs » est la fonction z ( n ) = I{d 2 1 1 d / n ) 1.
On peut écrire donc
et cela donne la série de Dirichlet
La multiplicativité de z découle également de manière évidente du théorème chinois.
De plus on a
r ( p k ) = k + l pourtoutp, k > 1
de sorte que le Lemme 2.1.8 s'applique et prouve de nouveau que D,(s) converge
pour o > 1 , ainsi que l'estimation
L'identité < (s)-'< ( s ) = [ ( s ) se traduit par
C p ( a ) z ( b ) = 1 pour tout n > 1.
ab=n
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004