Lemme 2.1.8. - Soit f une fonction multiplicative telle que
pour tout p premier et tout k 2 1, où A 2 O et Q est un polynôme ne dépendant pas de p.
Alors on a pour tout E > O et tout n >, 1
et en particulia la série de Dirichlet D ( s ) converge absolument pour a > A + 1 .
Démonstration. - En considérant g ( n ) = n-A f ( n ) , on se ramène à A = O. Il existe
C 2 O et d 2 O tels que Q ( k ) s ckd pour tout k 2 1. Prenons d'abord n = pk avec f~
premier. On a
donc
Soit E > O fixé. Pour n 2 No = No ( E ) assez grand, on peut « absorber » la constante
~ / ( l o ~ 2 ) ~ ,
donc 1 f ( n ) 1 s n' pour n = pk 2 No. Soit n quelconque. On écrit n = nln2
avec ( n i , n n ) = 1 et ni est le produit des facteurs
2 No de n et n2 le diviseur
complémentaire. On trouve 1 f ( n ) 1 < 1 f ( n 2 ) In;, or n2 appartient à un ensemble fini
d'entiers, disons m E E. D'où
pour tout n 2 1.
0
Exemple 2.1.9. - Nous terminons en introduisant les fonctions arithmétiques les plus
usuelles (et les plus importantes).
(1) La fonction de Mobius (1.6) est multiplicative et la série de Dirichlet DF ( s )
converge absolument pour a > 1. De plus son produit eulérien est
Cette identité est équivalente à Dl, ( s ) C(s) = 1 , c'est-à-dire est équivalente à l'énoncé
du Lemme 1.5.1 d'après (2.3). On en déduit aussi la formule d'inversion de Mobius :
étant données des fonctions arithmétiques f et g, on a
n
f ( n ) = C g ( d ) si et seulement si g ( n ) = c y ( d ) f (-)
4%
dln
d -
En terme de série de Dirichlet, c'est la tautologie D f ( s ) = C ( S ) D g ( s ) si et seulement
si Dg ( s ) = [ ( s ) -' ( s ) . Bien évidemment, cela est vrai sous la forme (2.10) même si
f et g n'ont pas croissance modérée.
En particulier on voit que y est l'inverse pour la convolution de la fonction
constante 1. Plus généralement :