DIRICHLET
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Démonstration. - Par sommation par partie (cf: (2.16) plus bas) on vérifie que
quand s -+ 1 par valeurs réelles > 1. Or pour s > 1 on peut prendre le logarithme
dans le produit eulérien puisqu'il converge absolument et développer - log(1- x) =
Cxk/k :
Cette somme double peut également être réarrangée, et on trouve
quand s -+ 1 car
converge absolument pour s > 1/2. Comparant les deux formules, le premier résultat
en découle.
On peut écrire par sommation par partie encore
Supposons x (x) « xl-S avec 8 > O. Alors l'expression à droite est bornée quand
s 4 1, ce qui contredit (1).
0
Par une méthode similaire on peut démontrer aussi que
1
C - - log log x
P < x P
quand x + +oo, ou bien le déduire de ce qui précède par sommation par partie (2.16) (').
Un peu plus difficile est le théorème de Mertens :
avec y la constante d'Euler (1.1 1). Sans identifier la constante, c'est immédiat à partir
de (2.8). Pour la preuve, on peut voir par exemple [Te, 1.1.61 ou [HW, 22.81.
Les fonctions multiplicatives sont souvent spécifiées seulement par leurs valeurs
aux puissances de nombres premiers. Le lemme suivant permet de vérifier fréquemment qu'elles sont à croissance modérée.
cela découle aussi trivialement du théorème des nombres premiers.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004