Démonstration
(1) La convergence absolue de D (s) implique que, pour tout p, la série
qui en est extraite converge absolument.
Soit z
2. Le produit sur les p < z est un produit fini de séries de Dirichlet
(chacune supportée sur les puissances d'un seul nombre premier) et peut donc être
réarrangé comme désiré suivant la recette ci-dessus. Cela donne, si pl > - > p, sont
les nombres premiers < z et P(x) leur produit :
grâce à l'unicité de la factorisation en nombres premiers et à la multiplicativité de f.
Si d < z, on a forcément d 1 P(z)O0, de sorte que
par convergence absolue de Df (s) , le résultat en découle.
(2) C'est une variante élémentaire de (l), ou bien son application à la fonction
multiplicative fn telle que
Cette fonction est à support fini parmi les diviseurs de n.
O
Exemple 2.1.6. - Euler fut le premier à considérer ((s) comme fonction de s réel, et
il démontra
1
pour o > 1. Cela découle de ce qui précède puisque
pour Re(s) > O, la série convergeant absolument. Euler en déduisit le premier résultat non trivial sur la distribution des nombres premiers depuis Euclide :
Corollaire 2.1.7
(1) On a
(2) Pour tout E > O, l'énoncé T C ( % ) « XI-' est faux.
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