où h , appelée convolution de Dirichlet de f et g , est donnée par
Démonstration. - Pour o assez grand, le produit des deux séries absolument convergentes D ( s ) et Dg ( s ) peut être ré-arrangé arbitrairement, et alors
On note souvent h = f * g . Comme cette opération correspond au produit ordinaire, on a une structure d'algèbre commutative : f * ( g * h ) = ( f * g ) * h , etc.
L'élément neutre est la fonction 6 telle que 6 ( 1 ) = 1 et 6 ( n ) = O si n 2 2. Bien
entendu la formule ci-dessus se généralise à plus de deux facteurs
DéJinition 2.1.4. - Une fonction arithmétique f est dite multiplicative si f # O et
f ( n m ) = f ( n ) f ( m ) quand ( n , m ) = 1.
Par exemple, la fonction 6 est trivialement multiplicative.
Soit f multiplicative. On vérifie que f (1) = 1 . Par multiplicativité, si n = PT' . .
avecpl > - . . > P r e t n l , ..., n , > O , o n a
donc f est connue à partir des f (pk) pour p premier, k 2 1, et ces nombres peuvent
évidemment être arbitraires.
Cela se traduit par l'existence d'un produit eulérien pour D ( s ) .
Proposition 2.1.5
( 1 ) Soit f une fonction arithmétique multiplicative à croissance modérée. Alors pour tout s
tel que D ( s ) converge absolument on a
où le produit est pris sur tous les nombres premiers et converge absolument; voir 1 'appendice à ce
chapitre pour un rappel des propriétés de base des produits infinis.
(2) Soit f une fonction arithmétique multiplicative quelconque. Pour tout n 2 1 et tout
s ~ C o n a
socrÉ~É MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
Démonstration. - Pour o assez grand, le produit des deux séries absolument convergentes D ( s ) et Dg ( s ) peut être ré-arrangé arbitrairement, et alors
On note souvent h = f * g . Comme cette opération correspond au produit ordinaire, on a une structure d'algèbre commutative : f * ( g * h ) = ( f * g ) * h , etc.
L'élément neutre est la fonction 6 telle que 6 ( 1 ) = 1 et 6 ( n ) = O si n 2 2. Bien
entendu la formule ci-dessus se généralise à plus de deux facteurs
DéJinition 2.1.4. - Une fonction arithmétique f est dite multiplicative si f # O et
f ( n m ) = f ( n ) f ( m ) quand ( n , m ) = 1.
Par exemple, la fonction 6 est trivialement multiplicative.
Soit f multiplicative. On vérifie que f (1) = 1 . Par multiplicativité, si n = PT' . .
avecpl > - . . > P r e t n l , ..., n , > O , o n a
donc f est connue à partir des f (pk) pour p premier, k 2 1, et ces nombres peuvent
évidemment être arbitraires.
Cela se traduit par l'existence d'un produit eulérien pour D ( s ) .
Proposition 2.1.5
( 1 ) Soit f une fonction arithmétique multiplicative à croissance modérée. Alors pour tout s
tel que D ( s ) converge absolument on a
où le produit est pris sur tous les nombres premiers et converge absolument; voir 1 'appendice à ce
chapitre pour un rappel des propriétés de base des produits infinis.
(2) Soit f une fonction arithmétique multiplicative quelconque. Pour tout n 2 1 et tout
s ~ C o n a
socrÉ~É MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004