appelée fonction zêta de Riemann. On verra qu'elle est intimement liée aux problèmes concernant la distribution des nombres premiers, et toujours très mystérieuse.
À tout le moins on peut observer que la série converge absolument pour Re ( s ) > 1.
Pour des raisons historiques on écrit en général s = o + it la décomposition en
partie réelle et imaginaire de la variable d'une série de Dirichlet. Cela sera fait cidessous parfois sans mention explicite.
Proposition 2.1.2. - Soit f une fonction arithmétique.
( 1 ) Si f ( n ) = 0 (np ) avec f3 E R, alors la série de Dirichlet D ( s ) converge absolument
pour tout s E C tel que o > p + 1 , unifôrmément sur tout compact, et d@nit dans cette répon
une fonction holomorphe D ( s ) de S .
( 2 ) Réciproquement, si la série converge pour so E C , on a f ( n ) < noo.
( 3 ) S'il existe so tel que la skie convmge pour so E C , alors D ( s ) = O pour tout s de
partie réelle assez grande si et seulement si f (n) = O pour tout n.
( 4 ) Dans tout demiplan vertical o 2 A inclus dans la région de convmgence absolue, D ( s )
est uniformément bornée.
Démonstration
( 1 ) On a pour tout s
et le résultat provient de la convergence de la fonction zêta pour o > 1, ainsi que des
résultats généraux sur les limites de fonctions holomorphes.
( 2 ) La convergence pour so implique que les coefficients tendent vers O, en
particulier sont bornés donc f ( n ) n-' O « 1.
( 3 ) Soit d, s'il existe, le plus petit entier n tel que f ( n ) # O. Par convergence
uniforme on a alors
lim d o D j (O) = f (d) # O
"++OC
et donc D # O dans ce cas. D'où le résultat par contraposition.
( 4 ) C'est évident car pour o 2 A on a
Les fonctions f pour lesquelles les séries de Dirichlet ont une région de convergence non vide seront appelées à croissance modérée. C'est en particulier lorsque
f ( n ) a des propriétés multiplicatives que la série de Dirichlet est particulièrement
utile, en raison de la propriété
Proposition 2.1.3. - Soient f et g des fonctions à croissance modérée, D et Dg les séries de
Dirichlet associées. Alors pour o = R e ( s ) assez grand on a
D f ( s ) Dg ( s ) = Dh ( s ) = C h ( n ) n-'
n> 1
À tout le moins on peut observer que la série converge absolument pour Re ( s ) > 1.
Pour des raisons historiques on écrit en général s = o + it la décomposition en
partie réelle et imaginaire de la variable d'une série de Dirichlet. Cela sera fait cidessous parfois sans mention explicite.
Proposition 2.1.2. - Soit f une fonction arithmétique.
( 1 ) Si f ( n ) = 0 (np ) avec f3 E R, alors la série de Dirichlet D ( s ) converge absolument
pour tout s E C tel que o > p + 1 , unifôrmément sur tout compact, et d@nit dans cette répon
une fonction holomorphe D ( s ) de S .
( 2 ) Réciproquement, si la série converge pour so E C , on a f ( n ) < noo.
( 3 ) S'il existe so tel que la skie convmge pour so E C , alors D ( s ) = O pour tout s de
partie réelle assez grande si et seulement si f (n) = O pour tout n.
( 4 ) Dans tout demiplan vertical o 2 A inclus dans la région de convmgence absolue, D ( s )
est uniformément bornée.
Démonstration
( 1 ) On a pour tout s
et le résultat provient de la convergence de la fonction zêta pour o > 1, ainsi que des
résultats généraux sur les limites de fonctions holomorphes.
( 2 ) La convergence pour so implique que les coefficients tendent vers O, en
particulier sont bornés donc f ( n ) n-' O « 1.
( 3 ) Soit d, s'il existe, le plus petit entier n tel que f ( n ) # O. Par convergence
uniforme on a alors
lim d o D j (O) = f (d) # O
"++OC
et donc D # O dans ce cas. D'où le résultat par contraposition.
( 4 ) C'est évident car pour o 2 A on a
Les fonctions f pour lesquelles les séries de Dirichlet ont une région de convergence non vide seront appelées à croissance modérée. C'est en particulier lorsque
f ( n ) a des propriétés multiplicatives que la série de Dirichlet est particulièrement
utile, en raison de la propriété
Proposition 2.1.3. - Soient f et g des fonctions à croissance modérée, D et Dg les séries de
Dirichlet associées. Alors pour o = R e ( s ) assez grand on a
D f ( s ) Dg ( s ) = Dh ( s ) = C h ( n ) n-'
n> 1