CHAPITRE 2
PRÉPARATIFS POUR LE THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
Nous allons démontrer dans le chapitre suivant le Théorème des Nombres Premiers (sous la forme du Théorème 1.3.6, c'est-à-dire dans les progressions arithmétiques). Cela permettra d'introduire des outils importants qui n'interviennent pas
autrement dans le Théorème 1.2.1. Pour un traitement plus complet des idées présentées, on peut consulter par exemple [Te].
2.1. Séries de Dirichlet
DéJinZtion 2.1.1
(1) Une jonction arithmétique est une application f : N* -+ C définie sur l'ensemble
des entiers n 2 1 - autrement dit, une suite de nombres complexes.
(2) Une série de Dirichlet est une série du type
où f est une fonction arithmétique.
On peut considérer ces séries de manière formelle ou bien analytique, ce qui
conviendra mieux ici. Pour tout n 2 1, la fonction s H n-S = exp ( - s log n) est
une fonction entière.
Contrairement aux séries entières où la série (infinie) « la plus simple » est
qui ne pose guère de difficultés, la série de Dirichlet la plus simple est
< ( s ) = C n+7
n> 1