APPENDICE : PRODUITS INFINIS
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De plus, la fonction f est une fonction holomorphe sur U , f ( z ) = O si et seulement si il
existe m tel que a, ( 2 ) = - 1 , et on a
la série convergeant absolument et unijormément sur tout compact dans 1 'ouvert
V = {x E U / a, ( z ) # 1 pour tout m).
Démonstration. - Nous ne donnons que des indications minimales. Pour démontrer
que la convergence absolue implique la convergence, on note les inégalités
N
N
III ( 1 + a n ) - 1 1 < ( 1 + lani) - 1
(obtenu par récurrence sur N ) et
Donc
N
M+N
( I I
n= 1 ( 1 + \ a n \ ) ) ( II ( 1 + lan\) - 1 )
n=N+l
et le critère de Cauchy est donc vérifié à partir de celui pour
( 1 + lan/). Soit z la
valeur du produit JJ (1 + a,).
On a alors, d'après les inégalités précédentes
Cela donne
IzI 2 (2 - e r N ) p ~ ,
et si N est assez grand pour que erN < 2, cela démontre que z = O si et seulement si
PN = o .
Cela prouve ( l ) , (2) et (3) ; le reste est similaire.
O