16
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
On supposera ici d = 1 et P (x) = x2 + D, D > O. L'équation P(v) = O (mod n)
signifie
2
v + D = a n , a v e c a 2 1.
On réécrit cela an - v2 = D, et on l'interprète en disant que la forme quadratique
a x 2 + 2vXY + nY a discriminant D > O. La somme sur les racines v de P modulo n
va être interprétée comme une somme sur certaines classes d'équivalence de formes
quadratiques de discriminant D .
Or l'espace paramétrant les formes quadratiques définies positives a x 2 + 2bXY +
GY de discriminant D sur R est
Une représentation commode de &D est fournie par le demi-plan de Poincaré
la bijection n : gD -t H est simplement l'opération qui associe à q E 6FD celui des
deux complexes zq , Zq tels que
qui se trouve dans H, précisément
(autrement dit - l / z p et - l/Zq sont les racines du polynôme quadratique g (x) =
q(x, 1) ).
Le changement de v en v + n correspond à un changement de variable linéaire
unimodulaire ( i. e. de dé terminant 1 ) pour q , (X, Y ) t + (X, nX + Y ) , ce qui équivaut
à n(q') = n(q) + n. Plus généralement l'action de SL(2, R) sur 6FD par
correspond à
Sous l'action induite par SL(2, Z) il y a un nombre fini d'orbites de formes à
coefficients entiers (par exemple pour D = 1, à équivalence près, la seule forme
quadratique entière est q = x2 + Y 2 ) .
Soit A un ensemble contenant un point de chacune de ces orbites. On peut alors
écrire
1
P (v) =O (mod n)
C e(hRe(yz))
COURS SPÉCIALISÉS 13