1.6. MOTIVATION II : LES FORMES MODUWRES
Par exemple si D = 1, on voit que A = {i} convient, ri est cyclique d'ordre 4
engendré par
et la formule devient
1
ph(n)=
e(:)=C e(hRe(yi)).
v2+1=0 (modn)
YEBW
Pour faire la somme sur n 2 1 de manière souple, soit F : R+ -t R une fonction
test (à support compact). On obtient
-
avec Ph la fonction définie sur H par
Par construction, cette fonction est ï-invariante, i.e.
De telles fonction sont appelées fonctions modulaires; on peut dire qu'elles vivent
sur l'espace quotient X = SL(2,Z)\H. Maintenant on va estimer Ph(z) pour z arbitraire dans H. Pour ce faire, l'idée est en quelque sorte de développer P en série de
Fourier sur X pour en détecter les << harmoniques principales. >> Toute la subtilité est
que X n'est pas aussi simple sur le tore R/Z pour lequel s'applique la théorie des
séries de Fourier. Plus précisément, la théorie spectrale va s'appliquer à décomposer
toute fonction sur H qui est r-invariante (et assez régulière) comme combinaison de
fonctions fondamentales. Celles-ci seront de deux types : les fonctions dites << paraboliques D, donnant une théorie comparable à celle des séries de Fourier; et les séries
d'Eisenstein, donnant une théorie comparable à celle des intégrales de Fourier.
Il y aura bien d'autres difficultés sur le chemin, mais le principe fondamental
est d'appliquer une forme d'analyse harmonique adaptée pour révéler la stmc ture
oscillante de la somme afin d'en obtenir une majoration non triviale.
Le contenu de cette section est repris en détails puis développé ainsi que nécessaire
pour démontrer le théorème principal dans les Chapitres 6 et 7.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004