1.6. MOTIVATION II : LES FORMES MODULAIRES
Théwème 1.5.3
(1) (Friedlander-Iwaniec [Fr1 1, Fr121 ) On a
quand x --+ +oo, avec ci > 0 ;
(2) (Heath-Brown [HB] ) On a
avec c2 > 0 .
Dans ces deux cas se confirme le premier principe heuristique voulant que la probabilité qu'un entier n soit premier est environ l/(logn). Comme le nombre de
valeurs de la forme n = a* + b4 avec n < x est environ x3/4, cela « implique >> ( l ) , par
{exemple.
Pour le développement de cette Section, voir le Chapitre 5.
1.6. Motivation II : les formes modulaires
Écrivons pour n 3 1
ph('@)=
e ( : ) -
P(v) =O (mod n)
Les sommes de Weyl à estimer sont donc
Après application du théorème de crible de Duke-Friedlander-Iwaniec, on ramènera
le Théorème 1.4.5 à l'estimation plutôt des sommes
cette estimation devant être uniforme en d, avec d assez grand (d = x ' / ~ - € ,
pour tout
E > O ) .
L'avantage, comme toujours quand on applique le crible, est d'avoir remplacé la
suite irrégulière des nombres premiers par des suites beaucoup plus simples : les
entiers divisibles par d.
Les sommes ci-dessus vont être reliées aux formes modulaires. Il y a pour cela au
moins deux méthodes : l'une, remontant à Hooley, est assez indirecte mais bien motivée ; l'autre, découverte par Bykovsky, est basée sur une astuce, mais elle est ensuite
plus directe. C'est celle là qui sera présentée.
Théwème 1.5.3
(1) (Friedlander-Iwaniec [Fr1 1, Fr121 ) On a
quand x --+ +oo, avec ci > 0 ;
(2) (Heath-Brown [HB] ) On a
avec c2 > 0 .
Dans ces deux cas se confirme le premier principe heuristique voulant que la probabilité qu'un entier n soit premier est environ l/(logn). Comme le nombre de
valeurs de la forme n = a* + b4 avec n < x est environ x3/4, cela « implique >> ( l ) , par
{exemple.
Pour le développement de cette Section, voir le Chapitre 5.
1.6. Motivation II : les formes modulaires
Écrivons pour n 3 1
ph('@)=
e ( : ) -
P(v) =O (mod n)
Les sommes de Weyl à estimer sont donc
Après application du théorème de crible de Duke-Friedlander-Iwaniec, on ramènera
le Théorème 1.4.5 à l'estimation plutôt des sommes
cette estimation devant être uniforme en d, avec d assez grand (d = x ' / ~ - € ,
pour tout
E > O ) .
L'avantage, comme toujours quand on applique le crible, est d'avoir remplacé la
suite irrégulière des nombres premiers par des suites beaucoup plus simples : les
entiers divisibles par d.
Les sommes ci-dessus vont être reliées aux formes modulaires. Il y a pour cela au
moins deux méthodes : l'une, remontant à Hooley, est assez indirecte mais bien motivée ; l'autre, découverte par Bykovsky, est basée sur une astuce, mais elle est ensuite
plus directe. C'est celle là qui sera présentée.