CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Théorème 1.5.2
( 1 ) (Brun [Br] ) O n a
X
.
(log x ) 2 '
(2) (Chen [Ch] ) Il existe une inJinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit de la forme
p + 2 = $11 OU p + 2 = plp2 avec pi premiers;
(3) (Iwaniec [Iwl] ) Il existe une inJinité d'entiers n tels que n2 + 1 soit de la forme
2
n + 1 = p l o u n 2 + 1 = p l p 2 .
La limitation sur le nombre de facteurs premiers des nombres obtenus n'est pas
artificielle. Bombieri et Selberg ont étudié le crible de manière abstraite et ont mis
au jour de façon très claire le problème de parité » : dans le cadre des méthodes
de crible telles que développées à la suite de Brun (basées sur certains « axiomes >>
portant, par exemple, sur la fonction g (d) ) , il est impossible d'en déduire une formule
asymptotique pour la somme des an où n est restreint à un ensemble d'entiers Z
ayant la propriété que la parité du nombre de diviseurs premiers de tout n E Z est
fixée. Autrement dit, il est tout aussi impossible de démontrer (par le crible) qu'il
existe une infinité de p tels que p + 2 = plp2 avec pl # p2 qu'il est impossible de
démontrer la conjecture des nombres premiers jumeaux. (C'est une subtilité souvent
mal comprise).
Très récemment (à partir de 1995 environ), certains mathématiciens sont parvenus
à contourner cette barrière. Les noms les plus importants sont Iwaniec, Friedlander,
Duke, Fouvry, Heath-Brown, et quelques autres. 11 s'agit d'ajouter aux hypothèses classiques du crible des conditions supplémentaires permettant d'obtenir une formule
limitée aux seuls nombres premiers. Il existe maintenant plusieurs formulations assez
générales de ces nouvelles méthodes ; la très grosse difficulté est de les appliquer !
Grosso modo, en plus de demander des information sur
on demande d'en savoir plus sur des « formes bilinéaires » du type
où les variables de sommation appartiennent à des intervalles bien précis. Pour un
survol de ces méthodes et de leurs applications, voir l'exposé de P. Michel au Séminaire Bourbaki [Mil].
Le théorème principal qui est l'objectif de ce cours est l'un de ces résultats. Les
plus spectaculaires actuellement connus sont
Théorème 1.5.2
( 1 ) (Brun [Br] ) O n a
X
.
(log x ) 2 '
(2) (Chen [Ch] ) Il existe une inJinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit de la forme
p + 2 = $11 OU p + 2 = plp2 avec pi premiers;
(3) (Iwaniec [Iwl] ) Il existe une inJinité d'entiers n tels que n2 + 1 soit de la forme
2
n + 1 = p l o u n 2 + 1 = p l p 2 .
La limitation sur le nombre de facteurs premiers des nombres obtenus n'est pas
artificielle. Bombieri et Selberg ont étudié le crible de manière abstraite et ont mis
au jour de façon très claire le problème de parité » : dans le cadre des méthodes
de crible telles que développées à la suite de Brun (basées sur certains « axiomes >>
portant, par exemple, sur la fonction g (d) ) , il est impossible d'en déduire une formule
asymptotique pour la somme des an où n est restreint à un ensemble d'entiers Z
ayant la propriété que la parité du nombre de diviseurs premiers de tout n E Z est
fixée. Autrement dit, il est tout aussi impossible de démontrer (par le crible) qu'il
existe une infinité de p tels que p + 2 = plp2 avec pl # p2 qu'il est impossible de
démontrer la conjecture des nombres premiers jumeaux. (C'est une subtilité souvent
mal comprise).
Très récemment (à partir de 1995 environ), certains mathématiciens sont parvenus
à contourner cette barrière. Les noms les plus importants sont Iwaniec, Friedlander,
Duke, Fouvry, Heath-Brown, et quelques autres. 11 s'agit d'ajouter aux hypothèses classiques du crible des conditions supplémentaires permettant d'obtenir une formule
limitée aux seuls nombres premiers. Il existe maintenant plusieurs formulations assez
générales de ces nouvelles méthodes ; la très grosse difficulté est de les appliquer !
Grosso modo, en plus de demander des information sur
on demande d'en savoir plus sur des « formes bilinéaires » du type
où les variables de sommation appartiennent à des intervalles bien précis. Pour un
survol de ces méthodes et de leurs applications, voir l'exposé de P. Michel au Séminaire Bourbaki [Mil].
Le théorème principal qui est l'objectif de ce cours est l'un de ces résultats. Les
plus spectaculaires actuellement connus sont