1.5. MOTlVATION 1 : LE CRIBLE
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avec 101 < 1. Comme être divisible par deux entiers d et d' premiers entre eux est
« indépendant », on suppose (cela s'avère vrai en général) que g est multiplicative,
c'est-à-dire
(dd') = (d) (dl) si (d, dl) = 1.
(attention, on ne demande pas g(dd') = g(d)g (dl) pour tout d, dl, ce qui serait trop
restrictif comme on le verra plus loin sur des exemples).
Si on insère l'approximation ci-dessus, on trouve
Et on pourrait se dire que le second terme sera négligeable dans les bons cas et
que le premier terme donnera le vrai ordre de grandeur.
Malheureusement, ceci est faux si z est un peu grand, même dans le cas le plus
simple an = 1. On trouve en effet
Le premier terme se réécrit
Mais on démontre (c'est la formule de Mertens, cJ: 2.9) que
où y est la constante d'Euler,
1
y = lim C - logx = 0.5'77 . . .
x++m n
La raison de cet échec est que dans la somme (1.10), il y a trop de termes, et le
terme d'erreur, quoique petit pour d donné, finalement dépasse le terme principal.
En effet on a r ( P ( z ) ) = 2n(z) termes dans la somme, et (si on admet le TNP), ceci
est pratiquement exponentiel en x si z = \lx. Aussi, l'indépendance de la divisibilité
par des entiers premiers entre eux n'est pas assurée : par exemple, n ne peut être
divisible que par un seul nombre premier P > nl/'.
L'idée que Brun mis en place fut d'abandonner la formule exacte (1.10) en ne
conservant que certains d, de sorte que la somme obtenue ait beaucoup moins de
termes. Cela ne permet plus d'avoir une formule asymptotique, mais des bornes inférieures et supérieures pour S(x, z) , valides pour des valeurs de z assez grandes. Son
grand succès est d'avoir réalisé cela en conservant le bon ordre de grandeur.
Voici quelques énoncés typiques obtenus après des années de développement de
ces méthodes :
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avec 101 < 1. Comme être divisible par deux entiers d et d' premiers entre eux est
« indépendant », on suppose (cela s'avère vrai en général) que g est multiplicative,
c'est-à-dire
(dd') = (d) (dl) si (d, dl) = 1.
(attention, on ne demande pas g(dd') = g(d)g (dl) pour tout d, dl, ce qui serait trop
restrictif comme on le verra plus loin sur des exemples).
Si on insère l'approximation ci-dessus, on trouve
Et on pourrait se dire que le second terme sera négligeable dans les bons cas et
que le premier terme donnera le vrai ordre de grandeur.
Malheureusement, ceci est faux si z est un peu grand, même dans le cas le plus
simple an = 1. On trouve en effet
Le premier terme se réécrit
Mais on démontre (c'est la formule de Mertens, cJ: 2.9) que
où y est la constante d'Euler,
1
y = lim C - logx = 0.5'77 . . .
x++m n
La raison de cet échec est que dans la somme (1.10), il y a trop de termes, et le
terme d'erreur, quoique petit pour d donné, finalement dépasse le terme principal.
En effet on a r ( P ( z ) ) = 2n(z) termes dans la somme, et (si on admet le TNP), ceci
est pratiquement exponentiel en x si z = \lx. Aussi, l'indépendance de la divisibilité
par des entiers premiers entre eux n'est pas assurée : par exemple, n ne peut être
divisible que par un seul nombre premier P > nl/'.
L'idée que Brun mis en place fut d'abandonner la formule exacte (1.10) en ne
conservant que certains d, de sorte que la somme obtenue ait beaucoup moins de
termes. Cela ne permet plus d'avoir une formule asymptotique, mais des bornes inférieures et supérieures pour S(x, z) , valides pour des valeurs de z assez grandes. Son
grand succès est d'avoir réalisé cela en conservant le bon ordre de grandeur.
Voici quelques énoncés typiques obtenus après des années de développement de
ces méthodes :