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CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Démonstration. - Le cas n = 1 est évident. Si n 2 2, on écrit n = pY1 . . .pF, avec
pi # pi et r 2 1 ; les diviseurs d / n tels que p (d) # O sont les 2' nombres d = p: ' . . . p: '
avec E i E {O, 1). Groupant la somme suivant le nombre i de facteurs premiers de d,
Ce lemme trivial est important : on s'en sert pour « détecter » analytiquement la
condition n = 1. Nous verrons de nombreuses situations analogues où une équation
est « résolue >> par l'écriture d'une formule analytique, permettant de manipuler la
condition qu'elle exprime avec des outils analytiques.
Ici on en déduit
(1.9)
en posant
On a donc exprimé la somme S(x, z) à l'aide de sommes d'apparence plus simple
puisque la condition sur les sommandes n est « seulement » d'être divisibles par d
(il s'agit donc de passer des nombres premiers à des progressions arithmétiques que
l'on suppose plus élémentaires). Noter cependant que d peut être très grand, et si
l'on veut aller plus loin il faudra des estimations uniformes pour toutes ces valeurs
de d. Cela s'avère rédhibitoire dans l'état actuel de nos connaissances.
On se trouve généralement dans une situation où on a une approximation correcte
pour d assez petit
avec
et rd (x) un « reste » (de sorte que g(d) mesure intuitivement la « probabilité » d'être
divisible par d pour les éléments dans le support de la suite (a,), avec multiplicité).
Par exemple si an = 1 (on veut compter les nombres premiers...), on a évidemment
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