1.5. MOTNATION 1 : LE CRIBLE
La formule de Legendre est
C'est le principe d'inclusion-exclusion.
La formule peut être raccourcie considérablement en introduisant la fonction de
Mobius p (n) ainsi définie pour tout entier n > 1 :
s'il existe p 1 n tel que p2 1 n
~ ( 4
=
( - 1
sin =pl ...Pr avecpl > . - - >Pr.
Par exemple, p(P) = -1 pour tout p, p(P2) = O, p(P1P2) = 1 si pl # P2. Noter
aussi que p (1) = 1 (il y a O facteurs premiers).
La fonction de Mobius est sans doute la plus importante fonction arithmétique en
théorie analytique des nombres, et la plus mystérieuse.
Posons de plus
On a alors
De manière plus générale, soit d = (a,) une suite de nombres complexes. On
souhaite en savoir plus sur les propriétés de a, quand n = p premier (penser à a,
fonction caractéristique de la suite des nombre premiers décalés + 2, par exemple).
Dans de nombreux cas, on arrivera à certains résultats par des méthodes de crible.
Considérons le problème plus général d'évaluer les sommes
c'est-à-dire de comprendre an quand n n'a pas de diviseurs premiers < z. Si z = fi,
cela donne à peu de choses près la somme sur les < x
et si z = xQ avec O < cc < 1, on peut remarquer que les n premiers à P (z) ont au plus
l/ct facteurs premiers (comptés avec multiplicité).
Lemme 1 S.1. - Pour tout n 1 on a
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004