1 O
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
de l'argument sur les formes automorphes pour le retrouver, comme on le verra) est
dû à C. Hooley [Ho].
(4) On conjecture que le résultat reste valide pour tout polynôme irréductible
P E Z[X]. Cela semble très difficile à démontrer. Dans la situation plus simple de
la remarque précédente, Hooley a cependant montré qu'il y a équirépartition des
racines modulo n.
Exemple 1.4.7. - Comme exemple de l'utilité du critère de Weyl, voici une application simple : l'équirépartition des parties fractionnaires {na} pour n >, 1, où
a E R - Q est un nombre irrationnel fixé. Autrement dit, il s'agit de démontrer :
Théwème 1.4.8. - Soit et E R - Q . On apour tout h # O
Démonstration. - On va démontrer un résultat beaucoup plus précis. En effet, on a
pour tout N, par sommation de suite géométrique,
(car a @ Q donc e(ha) # 1). Comme a et h sont fixés on en déduit
pour N 2 1.
On peut se demander si ce résultat s'étend à l'équirépartition des {ap} pour P < x.
C'est bien le cas, ainsi que le démontra Vinogradov. Nous en donnerons une preuve
dans le Chapitre 5.
De même, on peut démontrer que pour tout irrationnel a , tout k >, 1 fixé, les
{ank}, n < x, et les {apk}, p < x, sont équiréparties pour la mesure de Lebesgue.
Par contre, on démontre qu'il n'existe aucune mesure m telle que les {logp},
p 6 X, soient m-équirépartis quand x + +m.
1.5. Motivation 1 : le crible
Le crible remonte à Eratosthène : c'est une méthode simple et efficace pour énumérer les nombres premiers à partir de 2 en utilisant leur définition : p est premier
si et seulement si tout d 1 p est soit d = 1 soit d = p.
Le crible a été formalisé d'abord par Legendre, sans qu'il en tire d'applications.
Ce qu'on appelle les méthodes de crible datent véritablement de V. Brun au début
du xxe siècle qui parvint à démontrer par ce biais les premiers résultats en direction
des conjectures de type << nombres premiers jumeaux >> [Br].
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
de l'argument sur les formes automorphes pour le retrouver, comme on le verra) est
dû à C. Hooley [Ho].
(4) On conjecture que le résultat reste valide pour tout polynôme irréductible
P E Z[X]. Cela semble très difficile à démontrer. Dans la situation plus simple de
la remarque précédente, Hooley a cependant montré qu'il y a équirépartition des
racines modulo n.
Exemple 1.4.7. - Comme exemple de l'utilité du critère de Weyl, voici une application simple : l'équirépartition des parties fractionnaires {na} pour n >, 1, où
a E R - Q est un nombre irrationnel fixé. Autrement dit, il s'agit de démontrer :
Théwème 1.4.8. - Soit et E R - Q . On apour tout h # O
Démonstration. - On va démontrer un résultat beaucoup plus précis. En effet, on a
pour tout N, par sommation de suite géométrique,
(car a @ Q donc e(ha) # 1). Comme a et h sont fixés on en déduit
pour N 2 1.
On peut se demander si ce résultat s'étend à l'équirépartition des {ap} pour P < x.
C'est bien le cas, ainsi que le démontra Vinogradov. Nous en donnerons une preuve
dans le Chapitre 5.
De même, on peut démontrer que pour tout irrationnel a , tout k >, 1 fixé, les
{ank}, n < x, et les {apk}, p < x, sont équiréparties pour la mesure de Lebesgue.
Par contre, on démontre qu'il n'existe aucune mesure m telle que les {logp},
p 6 X, soient m-équirépartis quand x + +m.
1.5. Motivation 1 : le crible
Le crible remonte à Eratosthène : c'est une méthode simple et efficace pour énumérer les nombres premiers à partir de 2 en utilisant leur définition : p est premier
si et seulement si tout d 1 p est soit d = 1 soit d = p.
Le crible a été formalisé d'abord par Legendre, sans qu'il en tire d'applications.
Ce qu'on appelle les méthodes de crible datent véritablement de V. Brun au début
du xxe siècle qui parvint à démontrer par ce biais les premiers résultats en direction
des conjectures de type << nombres premiers jumeaux >> [Br].