Dans l'autre direction, soit I = ]a, b[ c [a, b]. Pour E > O on peut trouver une
fonction continue f telle que O < f < 1 et f (x) = O si x & 1, vérifiant
On en déduit
' l{
1
1
liminf- i < n 1 a d x i ( 6 ) >liFSo f(t)dmn(t) =JO f ( t ) d t > (a-.) - c e
n
n
Puis on procède de même avec les deux intervalles formant [O, 11 - [a, b] , etc.
O
Concrètement, nous utiliserons le critère suivant pour l'équirépartition dans R/Z,
souvent appelé critère de Weyl :
Corollaire 1.4.4. - Soit (xn) une suite à valeurs dans R/Z . Alors (x,) est équirépartie pour
la mesure de Lebesgue si et seulement si pour tout h E Z, h # O, on a
1
lim - C e(hx,) = O
X n
C e(hxn) = o(x) .
n
Démonstration. - Les polynômes trigonométriques, combinaisons linéaires de
eh (x) = e(hx) , h E Z sont denses dans C(R/Z) . Pour h = O on a
1 = eo (t)dt = eo (t)dmn (t)
S S
pour tout n, donc la « fréquence » O ne pose pas de problème. De plus
S
eh (t) dt = O pour tout h # O.
O
Il découle de tout cela que le théorème principal est équivalent à l'énoncé suivant :
Théorème 1.4.5. - Soit P E Z[X] un polynôme quadratique irréductible à discriminant
(1) L'énoncé correspondant est faux si P est réductible.
(2) Il reste vrai pour P à discriminant > O, mais la partie de l'argument faisant intervenir les formes modulaires doit être modifiée (thèse de A. Toth, 1997,
voir [To] ) .
(3) Si on regarde les racines de P (x) = O (mod n) pour n quelconque, il y a toujours équirépartition. Ce résultat beaucoup plus simple (il suffit d'une petite partie
s o c r É ~ É MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
fonction continue f telle que O < f < 1 et f (x) = O si x & 1, vérifiant
On en déduit
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1
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liminf- i < n 1 a d x i ( 6 ) >liFSo f(t)dmn(t) =JO f ( t ) d t > (a-.) - c e
n
n
Puis on procède de même avec les deux intervalles formant [O, 11 - [a, b] , etc.
O
Concrètement, nous utiliserons le critère suivant pour l'équirépartition dans R/Z,
souvent appelé critère de Weyl :
Corollaire 1.4.4. - Soit (xn) une suite à valeurs dans R/Z . Alors (x,) est équirépartie pour
la mesure de Lebesgue si et seulement si pour tout h E Z, h # O, on a
1
lim - C e(hx,) = O
X n
C e(hxn) = o(x) .
n
Démonstration. - Les polynômes trigonométriques, combinaisons linéaires de
eh (x) = e(hx) , h E Z sont denses dans C(R/Z) . Pour h = O on a
1 = eo (t)dt = eo (t)dmn (t)
S S
pour tout n, donc la « fréquence » O ne pose pas de problème. De plus
S
eh (t) dt = O pour tout h # O.
O
Il découle de tout cela que le théorème principal est équivalent à l'énoncé suivant :
Théorème 1.4.5. - Soit P E Z[X] un polynôme quadratique irréductible à discriminant
(1) L'énoncé correspondant est faux si P est réductible.
(2) Il reste vrai pour P à discriminant > O, mais la partie de l'argument faisant intervenir les formes modulaires doit être modifiée (thèse de A. Toth, 1997,
voir [To] ) .
(3) Si on regarde les racines de P (x) = O (mod n) pour n quelconque, il y a toujours équirépartition. Ce résultat beaucoup plus simple (il suffit d'une petite partie
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