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CHAPITRE 1. INTRODUCTION
1.4. Le critère d'équirépartition de Weyl
Nous présentons une version plus générale de la notion d'équirépartition.
DéJinition 1.4.1. - Soit X un espace topologique compact, (x,) une suite à valeurs
dans X . Soit m une mesure de probabilité sur X . On dit que x, est m-équirépartie
dans X si pour toute fonction continue f : X -+ C on a
1
lim - C f (x,) =
x++oo X n<,
En d'autres termes, la suite de mesures
converge faiblement vers m.
On a le critère suivant qui facilite la vérification :
Proposition 1.4.2. - Soit X , m comme ci-dessus. Soit ( f k ) un sous-ensemble de Loo ( X ) ,
V léspace vectoriel engendré par ces fonctions. Supposons que C ( X ) c 1/ où l'adhérence est
prise pour la norme Loo.
Si on a
fk ( t ) dm ( t ) = lim
fk ( t ) dm, ( t ) .
, ++cm Sx
pour tout k , alors (x,) est m-équirépartie.
Démonstration. - Soit V l'espace vectoriel engendré par les f k . Si Il f - gll < E avec
g E V , du fait que m et les m, sont des mesures de probabilité on a pour tout n 1
Donc pour tout n 1
1 Sx ldm - S.
fdm, 1 < 2r + 1 Sx gdm - SX gdm, 1 < SE pour tout n assez grand
d'où le résultat.
Corollaire 1.4.3. - L a déJinition ci-dessus coïncide avec la précédente pour R/Z avec m la
mesure de Lebesgue, c ést-à-dire que (x,) est m -équirépartie si et seulement si on a
Démonstration. - L'équirépartition au sens << original D signifie que (1.5) est vraie
pour toute f fonction caractéristique d'un intervalle. Or ces fonctions engendrent
un sous-espace dont l'adhérence contient C ( [O, 11 ) (continuité uniforme). Donc la
proposition implique que (x,) est m-équirépartie.