1.3. EXPLICITATION
7
Soit maintenant n = JGI et d 1 n. Soit y E G un élément d'ordre d. Il engendre
donc un sous-groupe cyclique d'ordre d. Or l'équation
dans K a au plus d solutions. Donc toutes ses solutions se trouvent dans G. En particulier, soit il existe y (d) éléments y d'ordre d dans G, soit il n'en existe pas. Notons
Gd l'ensemble des éléments d'ordre d de G. Comme
il faut nécessairement que IGd ( = y (d) pour tout d. En particulier, Gn # 0 et donc G
est cyclique d'ordre n.
O
Remurque 1.3.5. - On peut écrire diverses « formules » pour a+ ib tel que a2 + b2 = p,
mais elles ne sont pas très manipulables (elles donnent d'autres preuves de l'existence, cependant). Par exemple, soit ~4 : (Z/pZ) + { k l , h i ) un homomorphisme
surjectif (qui existe si p = 1 (mod 4) ), et ~2 : (Z/pZ) + {kl) le caractère de
Legendre modulo
Soit J la sommes de Jacobi
Alors on peut démontrer que 1 ~ 1 ~
= P.
Pour ce qui est de démontrer la Proposition 1.3.1 dans ce cas D = 1, on voit que
p(x) = 1 + C (1 + (2)) = 1 + 2 1 = 2 ~ ~ ( ~ ; 4 , 1 ) + 1 ,
3
Le résultat est alors naturel : il s'agit de dire qu'il y a à peu près autant de p
congrus à 1 modulo 4 que de p congrus à - 1. Le prouver est plus difficile ; c'est un
cas particulier du théorème suivant, dû à Dirichlet et Hadamard, de la Vallée Poussin.
Thh-ème 1.3.6. - Soit q 1 et a 2 1 des entiers avec ( a , q) = 1. Alors
quand x + +CO, pour a et q $xés.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
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Soit maintenant n = JGI et d 1 n. Soit y E G un élément d'ordre d. Il engendre
donc un sous-groupe cyclique d'ordre d. Or l'équation
dans K a au plus d solutions. Donc toutes ses solutions se trouvent dans G. En particulier, soit il existe y (d) éléments y d'ordre d dans G, soit il n'en existe pas. Notons
Gd l'ensemble des éléments d'ordre d de G. Comme
il faut nécessairement que IGd ( = y (d) pour tout d. En particulier, Gn # 0 et donc G
est cyclique d'ordre n.
O
Remurque 1.3.5. - On peut écrire diverses « formules » pour a+ ib tel que a2 + b2 = p,
mais elles ne sont pas très manipulables (elles donnent d'autres preuves de l'existence, cependant). Par exemple, soit ~4 : (Z/pZ) + { k l , h i ) un homomorphisme
surjectif (qui existe si p = 1 (mod 4) ), et ~2 : (Z/pZ) + {kl) le caractère de
Legendre modulo
Soit J la sommes de Jacobi
Alors on peut démontrer que 1 ~ 1 ~
= P.
Pour ce qui est de démontrer la Proposition 1.3.1 dans ce cas D = 1, on voit que
p(x) = 1 + C (1 + (2)) = 1 + 2 1 = 2 ~ ~ ( ~ ; 4 , 1 ) + 1 ,
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Le résultat est alors naturel : il s'agit de dire qu'il y a à peu près autant de p
congrus à 1 modulo 4 que de p congrus à - 1. Le prouver est plus difficile ; c'est un
cas particulier du théorème suivant, dû à Dirichlet et Hadamard, de la Vallée Poussin.
Thh-ème 1.3.6. - Soit q 1 et a 2 1 des entiers avec ( a , q) = 1. Alors
quand x + +CO, pour a et q $xés.
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