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CHAPITRE 1. INTRODUCTION
une identité dans Z. Grâce au théorème fondamental de l'arithmétique on en déduit
donc que deux cas sont possibles (si p est impair) : il y a un seul j avec nj = 1, donc
p est premier dans Z [ i ] , ou il y a deux nj égaux à 1 et p = nn'. Cela nous donne le
résultat compte tenu de ce qui précède.
Une autre preuve (Fermat) : si x2 = -1 (modp) on a x2 + 1 = mp pour un certain
m 3 1. Soit m le plus petit entier tel que mp = a* + b2 avec a, b E Z. Cet m existe
donc (si p = 3 (mod 4), il n'existe pas...). Supposons m > 1. On a alors 1 < m < p, et
m f (x, y) par conséquent. Écrivons
al = a - cm, et bi = b - dm tels que lal 1 < m/2, Ibl 1 < m/2.
Donc a:+b:
(a2 + b2) (a: + b: ) = m2m'p,
mais chaque terme du membre de gauche est divisible par m2, et le produit de deux
sommes de deux carrés en est encore une, on trouve donc
a: + b4 = m'p, avec m' < m.
Cela contredit la définition de m.. . (Ce,tte preuve est dite « par descente infinie B) .
Quand à démontrer que ces deux cas arrivent une infinité de fois, on peut adapter
ici la méthode d'Euclide : si pl < p:, < - . . < p, sont des nombres premiers congrus
à 3 modulo 4, soit
N = 4pl - . . P r + 3.
Alors N r 3 (mod 4), Pi f N. Donc N est divisible seulement par des p # pi, pour
tout i, et il doit exister un diviseur premier congru à 3 modulo 4, qui n'est pas dans
la liste finie donnée.
Pour p = 1 (mod 4)' il faut ruser un peu. Soit pl < . . - < p, des nombres premiers
congrus à 1 modulo 4. Soit
N' = (Pl ..pr)* + 1.
C'est une somme de deux carrés donc N' r 1 (mod 4), et N' n'est pas divisible par
les pi. Il résulte de ce que nous avons vu sur les sommes de deux carrés que si Nt
n'était divisible que par des q
3 (mod 4), alors N' serait un carré. Mais ceci est
clairement absurde car N' - 1 est un carré.
0
Lemme 1.3.4. - Soit K un corps, G c K un sous-groupe fini de son groupe multiplicatiJ
Alors G est cyclique. E n particulier le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique.
Démonstration. - Rappelons la formule pour n 2 1
(partitionner Z/nZ suivant l'ordre d / n des éléments ; voir aussi l'Exemple 2.1.9, (3) .)
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
une identité dans Z. Grâce au théorème fondamental de l'arithmétique on en déduit
donc que deux cas sont possibles (si p est impair) : il y a un seul j avec nj = 1, donc
p est premier dans Z [ i ] , ou il y a deux nj égaux à 1 et p = nn'. Cela nous donne le
résultat compte tenu de ce qui précède.
Une autre preuve (Fermat) : si x2 = -1 (modp) on a x2 + 1 = mp pour un certain
m 3 1. Soit m le plus petit entier tel que mp = a* + b2 avec a, b E Z. Cet m existe
donc (si p = 3 (mod 4), il n'existe pas...). Supposons m > 1. On a alors 1 < m < p, et
m f (x, y) par conséquent. Écrivons
al = a - cm, et bi = b - dm tels que lal 1 < m/2, Ibl 1 < m/2.
Donc a:+b:
(a2 + b2) (a: + b: ) = m2m'p,
mais chaque terme du membre de gauche est divisible par m2, et le produit de deux
sommes de deux carrés en est encore une, on trouve donc
a: + b4 = m'p, avec m' < m.
Cela contredit la définition de m.. . (Ce,tte preuve est dite « par descente infinie B) .
Quand à démontrer que ces deux cas arrivent une infinité de fois, on peut adapter
ici la méthode d'Euclide : si pl < p:, < - . . < p, sont des nombres premiers congrus
à 3 modulo 4, soit
N = 4pl - . . P r + 3.
Alors N r 3 (mod 4), Pi f N. Donc N est divisible seulement par des p # pi, pour
tout i, et il doit exister un diviseur premier congru à 3 modulo 4, qui n'est pas dans
la liste finie donnée.
Pour p = 1 (mod 4)' il faut ruser un peu. Soit pl < . . - < p, des nombres premiers
congrus à 1 modulo 4. Soit
N' = (Pl ..pr)* + 1.
C'est une somme de deux carrés donc N' r 1 (mod 4), et N' n'est pas divisible par
les pi. Il résulte de ce que nous avons vu sur les sommes de deux carrés que si Nt
n'était divisible que par des q
3 (mod 4), alors N' serait un carré. Mais ceci est
clairement absurde car N' - 1 est un carré.
0
Lemme 1.3.4. - Soit K un corps, G c K un sous-groupe fini de son groupe multiplicatiJ
Alors G est cyclique. E n particulier le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique.
Démonstration. - Rappelons la formule pour n 2 1
(partitionner Z/nZ suivant l'ordre d / n des éléments ; voir aussi l'Exemple 2.1.9, (3) .)