1.3. EXPLICITATION
(iv) p est congru à 1 modulo 4 ;
(v) p est somme de deux carrés d'entiers : p = a2 + b2 avec (a, b) E z 2 .
(vi) Z [il /PZ [il est isomorphe (comme anneau) à Z/pZ x Z / p Z .
De façon complémentaire, sont équivalentes les assertions suivantes :
(i) Le polynôme P n ' a pas de racines modulo p ;
(ii) - 1 n 'est pas un carré modulo p ;
(iii) Dans le corps quadratique Q ( a) , 1 'idéal principal ( p i reste premier, i.e. ( p ) est
premier dans Z [il ;
(iv) p est congru à 3 modulo 4 ;
(v) p n'est pas somme de deux carrés d'entiers;
(vi) Z [il /PZ [il est un corps à p2 éléments.
De plus ces deux cas interuiennent une inJinité de fois.
Expliquons rapidement ce second lemme. La proposition dépend du Théorème
des Nombres Premiers dans les progressions arithmétiques et sera vu plus tard
(cf: Corollaire 3.4.6).
Démonstration. - (i) et (ii) sont tautologiquement équivalents ;
(v) implique (iv) et (iii) car p = a2 + b2 = (a + ib) (a - ib) et n = a + ib convient,
n ' = a - i b ;
(iii) implique (vi) ;
(iii) implique (i) : p = a* + b2 implique a2 + b2 = O (modp) donc a2 -b2 or a
et b ne peuvent pas être tout deux divisibles par p donc ( ~ / b ) ~
= -1 (modp) .
Donc la seule chose difficile est (iv) implique (i) et (iii) ou (v). Pour (iv) implique
(i), le groupe multiplicatif de Z/pZ est cyclique (rappel plus bas) d'ordre p - 1,
divisible par 4, donc il existe x modulo p d'ordre 4 exactement, c'est-à-dire
x4 = 1 mais x2 # 1.
Clairement ( x 2 ) = 1 donc x2 = &1, enfin x2 = - 1.
Pour (iv) implique (iii) ou (v), il y a de nombreuses preuves. Montrons (iii) avec
un peu de théorie algébrique des nombres. L'anneau Z [ i ] est principal car il y a une
division euclidienne : si x , w E Z [ i ] , w # O, il existe q, r E Z [ i ] tels que
r = pw + r avec Nr = 1r12 < Nw.
Il suffit de faire un dessin pour s'en convaincre. Une fois que l'on sait que Z [ i ] est
principal, factorisons un nombre premier p dans Z [ i ]
p = nn'. I
j
Si on calcule Np = p2 à l'aide de la multiplicativité on trouve
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
(iv) p est congru à 1 modulo 4 ;
(v) p est somme de deux carrés d'entiers : p = a2 + b2 avec (a, b) E z 2 .
(vi) Z [il /PZ [il est isomorphe (comme anneau) à Z/pZ x Z / p Z .
De façon complémentaire, sont équivalentes les assertions suivantes :
(i) Le polynôme P n ' a pas de racines modulo p ;
(ii) - 1 n 'est pas un carré modulo p ;
(iii) Dans le corps quadratique Q ( a) , 1 'idéal principal ( p i reste premier, i.e. ( p ) est
premier dans Z [il ;
(iv) p est congru à 3 modulo 4 ;
(v) p n'est pas somme de deux carrés d'entiers;
(vi) Z [il /PZ [il est un corps à p2 éléments.
De plus ces deux cas interuiennent une inJinité de fois.
Expliquons rapidement ce second lemme. La proposition dépend du Théorème
des Nombres Premiers dans les progressions arithmétiques et sera vu plus tard
(cf: Corollaire 3.4.6).
Démonstration. - (i) et (ii) sont tautologiquement équivalents ;
(v) implique (iv) et (iii) car p = a2 + b2 = (a + ib) (a - ib) et n = a + ib convient,
n ' = a - i b ;
(iii) implique (vi) ;
(iii) implique (i) : p = a* + b2 implique a2 + b2 = O (modp) donc a2 -b2 or a
et b ne peuvent pas être tout deux divisibles par p donc ( ~ / b ) ~
= -1 (modp) .
Donc la seule chose difficile est (iv) implique (i) et (iii) ou (v). Pour (iv) implique
(i), le groupe multiplicatif de Z/pZ est cyclique (rappel plus bas) d'ordre p - 1,
divisible par 4, donc il existe x modulo p d'ordre 4 exactement, c'est-à-dire
x4 = 1 mais x2 # 1.
Clairement ( x 2 ) = 1 donc x2 = &1, enfin x2 = - 1.
Pour (iv) implique (iii) ou (v), il y a de nombreuses preuves. Montrons (iii) avec
un peu de théorie algébrique des nombres. L'anneau Z [ i ] est principal car il y a une
division euclidienne : si x , w E Z [ i ] , w # O, il existe q, r E Z [ i ] tels que
r = pw + r avec Nr = 1r12 < Nw.
Il suffit de faire un dessin pour s'en convaincre. Une fois que l'on sait que Z [ i ] est
principal, factorisons un nombre premier p dans Z [ i ]
p = nn'. I
j
Si on calcule Np = p2 à l'aide de la multiplicativité on trouve
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