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CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Proposition 1 .XI. - O n a pour x + +oo
Donc dans (1.2) on peut aussi bien remplacer p(x) par x ( x ) , ce que l'on fera.
Lemme 1.3.2. - Soit P comme ci-dessus, D = b2 - 4ac son discriminant, p f 2a un nombre
premieî: Sont équivalentes les assertions suivantes :
(i) Le polynôme P a deux racines distinctes modulo p ;
(ii) Le discriminant D est un carré modulo p, c'est-à-dire il existe m E ( Z / p Z ) tel que
m2 = D (modp) ;
(iii) Dans le corps quadratique Q( a), l'idéal wncipal (p) se scinde complètement,
i. e. se factorise
(P) = rrn'
où x et x' sont des idéaux premiers conjugués de l'anneau des entiers de Q( a) .
Pour résumer (une partie de) ce lemme, on peut introduire le symbole de Legendre
( F) E {O, *1} de la manière suivante :
O
s i p l n
(1 -3)
1
si n est un carré modulo p
-1 si n n'est pas un carré modulo p
de sorte que le nombre de solutions de l'équation P ( x ) = O modulo p Ç 2a est
toujours égal à
où D = b2 - 4ac est le discriminant de P.
Noter que le symbole de Legendre peut être vu comme un homomorphisme
( Z / p q x + {hl}.
Si l'on spécialise au cas P ( X ) = x2 + 1 (ce qui, du point de vue du théorème
principal, n'est pas une limitation très significative car toutes les idées essentielles s'y
trouveront), on peut énoncer une variante du lemme qui est plus élémentaire et plus
explici te :
L m e 1.3.3. - Soit P = x2 + 1, fi > 2 un nombre premier impair. Sont équivalentes les
assertions suivantes :
(i) Le polynôme P a deux racines distinctes modulo p, x et -x disons;
(ii) - 1 est un carré modulo p ;
(iii) Dans le corps quadratique Q ( m) , l'idéal principal (P ) se scinde complètement, i. e. se
factorise
(P) = xx'
où x et x' sont des idéaux premiers conjugués de l'anneau Z [il ;