1.3. EXPLICITATION
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Théorème 1.2.1. - Soit D > 1 en entier et P = x2 + D, ou plus généralement P(X) un
polynôme quadratique irréductible sur Q, à coefJicients entiers et discriminant < O. Lorsque
x -+ +oo, les racines de P modulo p premier; p < x, dmiennent équiréparties pour la
mesure de Lebesgue.
Précisons le sens de cet énoncé : si p est premier, il peut (ou pas) exister v E Z/pZ
tel que P(v) = O E Z/pZ. Le « nombre » noté
-
(où {x) est la partie fractionnaire d'un nombre réel x, i.e. l'image par R -+ R/Z) ne
dépend pas du choix d'un entier relevant v. Dire que les racines deviennent équiréparties signifie par définition que si p (x) est le nombre total de racines v modulo
pour p < x, on a pour tout intervalle [a, b] c [O, 11, la << bonne proportion » de v tels
que a, E [a, b] , c'est-à-dire
(On assimile R/Z à [O, 11, avec O et 1 identifiés).
Ce résultat a été choisi pour plusieurs raisons :
(1) C'est un énoncé relativement simple à comprendre, mais un théorème très
profond ;
(2) La démonstration permet d'introduire, de manière bien motivée, deux des
outils généraux les plus utilisés en théorie analytique des nombres, à savoir
(2.i) Les méthodes de crible, sous leur forme la plus moderne, permettant
d'obtenir des résultats asymptotiques pour les nombres premiers et pas seulement pour
les nombres << presque » premiers ; c'est l'objet du Chapitre 5.
(2.ii) La théorie des formes automorphes et en particulier la théorie spectrale
des formes de Maass. Ce vaste sujet ne pourra être que résumé dans les Chapitres 6
et '7.
La suite de ce chapitre va achever la présentation du résultat, en revenant sur
sa formulation pour l'énoncer tel qu'il sera démontré, d'une part; puis introduire
rapidement les deux outils ci-dessus par un survol suivi de quelques notes historiques
et l'énoncé de quelques propositions typiques.
1.3. Explicitation
Soit P = a x 2 + bX + c E Z[X] un polynôme à coefficients entiers, a # O. Pour
p f a, la réduction de P modulo p reste quadratique. Cela n'exclut qu'un nombre fini
de nombres premiers, que l'on peut négliger pour le problème qui nous intéresse.
Précisons tout d'abord le comportement de p(x) , supposant seulement que P est
irréductible sur Q.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
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Théorème 1.2.1. - Soit D > 1 en entier et P = x2 + D, ou plus généralement P(X) un
polynôme quadratique irréductible sur Q, à coefJicients entiers et discriminant < O. Lorsque
x -+ +oo, les racines de P modulo p premier; p < x, dmiennent équiréparties pour la
mesure de Lebesgue.
Précisons le sens de cet énoncé : si p est premier, il peut (ou pas) exister v E Z/pZ
tel que P(v) = O E Z/pZ. Le « nombre » noté
-
(où {x) est la partie fractionnaire d'un nombre réel x, i.e. l'image par R -+ R/Z) ne
dépend pas du choix d'un entier relevant v. Dire que les racines deviennent équiréparties signifie par définition que si p (x) est le nombre total de racines v modulo
pour p < x, on a pour tout intervalle [a, b] c [O, 11, la << bonne proportion » de v tels
que a, E [a, b] , c'est-à-dire
(On assimile R/Z à [O, 11, avec O et 1 identifiés).
Ce résultat a été choisi pour plusieurs raisons :
(1) C'est un énoncé relativement simple à comprendre, mais un théorème très
profond ;
(2) La démonstration permet d'introduire, de manière bien motivée, deux des
outils généraux les plus utilisés en théorie analytique des nombres, à savoir
(2.i) Les méthodes de crible, sous leur forme la plus moderne, permettant
d'obtenir des résultats asymptotiques pour les nombres premiers et pas seulement pour
les nombres << presque » premiers ; c'est l'objet du Chapitre 5.
(2.ii) La théorie des formes automorphes et en particulier la théorie spectrale
des formes de Maass. Ce vaste sujet ne pourra être que résumé dans les Chapitres 6
et '7.
La suite de ce chapitre va achever la présentation du résultat, en revenant sur
sa formulation pour l'énoncer tel qu'il sera démontré, d'une part; puis introduire
rapidement les deux outils ci-dessus par un survol suivi de quelques notes historiques
et l'énoncé de quelques propositions typiques.
1.3. Explicitation
Soit P = a x 2 + bX + c E Z[X] un polynôme à coefficients entiers, a # O. Pour
p f a, la réduction de P modulo p reste quadratique. Cela n'exclut qu'un nombre fini
de nombres premiers, que l'on peut négliger pour le problème qui nous intéresse.
Précisons tout d'abord le comportement de p(x) , supposant seulement que P est
irréductible sur Q.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004