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CHAPITRE 1. INTRODUCTION
problème dit des diviseurs de Titchmarsh), qui a été résolu par Yu. Linnik [Li] en
1960 :
Problème 1.1.3. - Quel est le comportement asymptotique quand x + +oo de la somme
où T (n) est le nombre de diviseurs d'un entier n 2 1 .
En particulier, comment cette somme se compare-t-elle à la somme
Autrement dit, est-ce que les p - 1 sont des entiers « typiques » ? On verra (sans
détails complets) la réponse dans le Chapitre 4.
De façon générale, la théorie analytique des nombres n'a pas l'aspect d'une théorie bourbakiste « définition-théorème-corollaires » ; il y a plutôt peu de définitions,
beaucoup de théorèmes, et assez peu de corollaires ...
Cela signifie que la substantifique moelle de ce cours sera contenue souvent, non
pas dans un énoncé simple et très général, mais dans la démonstration et dans les
techniques qui seront utilisées pour arriver au but. J'essaierai de mettre en valeur et
de signaler celles qui sont les plus utiles.
Également importantes sont les heuristiques qui guident le mathématicien et lui
permettent de « deviner » ce qui sera vrai et ce qui ne le sera pas : « Les théorèmes
sont démontrés par ceux qui y croient B. Indiquons une première heuristique, grossière mais utile, qui provient du théorème des nombres premiers : la « probabilité >>
qu'un entier n soit premier est environ l/(logn) . En effet cela amène à imaginer
que
par intégration par partie. Incidemment, on verra que
est une bien meilleure approximation de x(x) que ne l'est la fonction apparemment
plus simple X/ (log x) .
1.2. Le prétexte
Le « fil rouge » de ce cours sera la présentation de la démonstration du théorème
suivant dû à W. Duke, J. Friedlander et H. Iwaniec [DF'I] :
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
problème dit des diviseurs de Titchmarsh), qui a été résolu par Yu. Linnik [Li] en
1960 :
Problème 1.1.3. - Quel est le comportement asymptotique quand x + +oo de la somme
où T (n) est le nombre de diviseurs d'un entier n 2 1 .
En particulier, comment cette somme se compare-t-elle à la somme
Autrement dit, est-ce que les p - 1 sont des entiers « typiques » ? On verra (sans
détails complets) la réponse dans le Chapitre 4.
De façon générale, la théorie analytique des nombres n'a pas l'aspect d'une théorie bourbakiste « définition-théorème-corollaires » ; il y a plutôt peu de définitions,
beaucoup de théorèmes, et assez peu de corollaires ...
Cela signifie que la substantifique moelle de ce cours sera contenue souvent, non
pas dans un énoncé simple et très général, mais dans la démonstration et dans les
techniques qui seront utilisées pour arriver au but. J'essaierai de mettre en valeur et
de signaler celles qui sont les plus utiles.
Également importantes sont les heuristiques qui guident le mathématicien et lui
permettent de « deviner » ce qui sera vrai et ce qui ne le sera pas : « Les théorèmes
sont démontrés par ceux qui y croient B. Indiquons une première heuristique, grossière mais utile, qui provient du théorème des nombres premiers : la « probabilité >>
qu'un entier n soit premier est environ l/(logn) . En effet cela amène à imaginer
que
par intégration par partie. Incidemment, on verra que
est une bien meilleure approximation de x(x) que ne l'est la fonction apparemment
plus simple X/ (log x) .
1.2. Le prétexte
Le « fil rouge » de ce cours sera la présentation de la démonstration du théorème
suivant dû à W. Duke, J. Friedlander et H. Iwaniec [DF'I] :