CHAPITRE 1
INTRODUCTION
1.1. Introduction
Ce cours doit servir d'introduction à la théorie analytique des nombres. Il s'agit de
l'art de démontrer des propositions intéressantes (espérons-le) concernant des objets
arithmétiques, en particulier les entiers n E Z et les nombres premiers p, en utilisant
des méthodes analytiques (intégration, fonctions holomorphes, analyse de Fourier,
majorations-minorations.. .)
Une catégorie typique de problèmes est de « compter » les solutions d'une certaine
équation de nature arithmétique lorsque certains paramètres deviennent grand.
Un premier exemple de résultat de théorie analytique des nombres, probablement
le plus important de tous, est le « théorème des nombres premiers », démontré indépendamment par Hadamard et de la Vallée Poussin en 1896 :
ITlzéurème 1 .l .l. - Soit x (x) le nombre de nombres premiers p < x . Alors
X
X(X) N - quand x -+ +m.
log x
On verra une preuve dans le Chapitre 3. Un autre exemple, cette fois d'un problème toujours ouvert, la conjecture des nombres premiers jumeaux :
Conjedure 1.1.2. - Soit xg (x) le nombre de nombres premiers p < x tels que p + 2 est
également premier: Alors
avec
Il est particulièrement fascinant, et difficile, d'étudier les effets résultant de l'interaction des propriétés multiplicatives des entiers (où les nombres premiers sont
primordiaux) et les propriétés additives. Un autre exemple de problème typique (le
INTRODUCTION
1.1. Introduction
Ce cours doit servir d'introduction à la théorie analytique des nombres. Il s'agit de
l'art de démontrer des propositions intéressantes (espérons-le) concernant des objets
arithmétiques, en particulier les entiers n E Z et les nombres premiers p, en utilisant
des méthodes analytiques (intégration, fonctions holomorphes, analyse de Fourier,
majorations-minorations.. .)
Une catégorie typique de problèmes est de « compter » les solutions d'une certaine
équation de nature arithmétique lorsque certains paramètres deviennent grand.
Un premier exemple de résultat de théorie analytique des nombres, probablement
le plus important de tous, est le « théorème des nombres premiers », démontré indépendamment par Hadamard et de la Vallée Poussin en 1896 :
ITlzéurème 1 .l .l. - Soit x (x) le nombre de nombres premiers p < x . Alors
X
X(X) N - quand x -+ +m.
log x
On verra une preuve dans le Chapitre 3. Un autre exemple, cette fois d'un problème toujours ouvert, la conjecture des nombres premiers jumeaux :
Conjedure 1.1.2. - Soit xg (x) le nombre de nombres premiers p < x tels que p + 2 est
également premier: Alors
avec
Il est particulièrement fascinant, et difficile, d'étudier les effets résultant de l'interaction des propriétés multiplicatives des entiers (où les nombres premiers sont
primordiaux) et les propriétés additives. Un autre exemple de problème typique (le