EXAMEN - BORDEAUX, MAI 2002
En déduire que pour tout E > O on a
et enfin
C P(m)e(am) « ( q
1/2,1/2 + q-1/2x + ,4/5),~
rngx
pour tout E > O, la constante implicite ne dépendant que de E.
(3) On rappelle que sous l'Hypothèse de Riemann Généralisée, on a
pour tout caractère de Dirichlet x modulo q, où la constante implicite est absolue.
En déduire que pour tout q 2 1, (a, q) = 1, on a
[Indication : Utiliser les sommes de Gauss.]
(4) Soit a E R, Q 2 1. Montrer qu'il existe q < Q et (a, q) = 1 tels que
et en déduire
pour tout E > 0.
( 5 ) Montrer que pour tout a E R, on a sous l'Hypothèse de Riemann Généralisée
avec une constante implicite absolue.
(6) Pensez-vous que l'on puisse estimer non-trivialement la somme ci-dessus (avec
un résultat éventuellement moins bon ...) sans faire appel à l'Hypothèse de Riemann
Généralisée? De plus, pensez-vous que l'exposant 5/6 soit le meilleur possible ou
pas ?
Problème 3. Soit cp une fonction COo sur [O, +oo [ telle que O < cp < 1, cp (y) = 1 pour
(1) Montrer que la transformée de Mellin de cp a un pôle simple en s = O dont on
calculera le résidu x et n'a pas d'autres singularités pour o > - 1.